 |
A P. 4765. feladat (2015. október) |
P. 4765. Egy 250 mH induktivitású és 0,3 \(\displaystyle \Omega\) ellenállású tekercsre egy állandó feszültségű telepet kapcsolunk. Mennyi idő múlva éri el a tekercsben folyó áram erőssége a végül beálló stacionárius érték
\(\displaystyle a)\) 50%-át;
\(\displaystyle b)\) 75%-át?
Orosz példatári feladat
(4 pont)
A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az áramerősség változását az
\(\displaystyle L\frac{\Delta I(t)}{\Delta t}+R\cdot I(t)=U_0\)
egyenlet (a Kirchhoff-féle huroktörvény) határozza meg, ami
\(\displaystyle \frac{\Delta\left(I_0- I(t)\right)}{\Delta t} =-\lambda\cdot \left(I_0-I(t) \right) \)
alakra hozható, ahol \(\displaystyle I_0=U_0/R\) a stacionárius áramerősség, \(\displaystyle \lambda=R/L=1{,}2~{\rm s}^{-1}\) pedig a változás gyorsaságára jellemző állandó. Az egyenlet azonos alakú, mint a radioaktív bomlások
\(\displaystyle \frac{\Delta m(t)}{\Delta t} =-\lambda\cdot m(t) \)
törvénye, a megoldása is megegyezik annak megoldásával:
\(\displaystyle I_0-I(t)=I_0\,{\rm e}^{-\lambda t}.\)
A felezési idő, amennyi idő alatt a stacionárius értéktől való eltérés a felére csökken:
\(\displaystyle T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}=0{,}69\,\frac{L}{R}\approx 0{,}57~\rm s,\)
a stacionárius érték 75%-át pedig \(\displaystyle 2T_{1/2}\approx 1{,}15~\rm s\) múlva éri el az áramerősség.
Megjegyzés. Az áram időbeli változását jó közelítéssel numerikus módszerrel is megkaphatjuk. Ha például \(\displaystyle \Delta T=0{,}01~\)s-os lépésekkel számolunk, és egy-egy lépés során az áramerősséget időben egyenletesen változó függvénnyel közelítjük, akár egy zsebszámológéppel is hamar eljuthatunk a megoldáshoz. Ilyen módszerrel a felezési időre az \(\displaystyle (1-0{,}012)^n=1/2\) egyenletből \(\displaystyle n\approx 58\), vagyis \(\displaystyle T_{1/2}=n\cdot \Delta t\approx 0{,}58\) s adódik.
Statisztika:
58 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Baglyas Márton, Bartók Imre, Bencsik Bálint, Boldizsár Bálint, Büki Máté, Csenger Géza, Csire Roland, Csorba Benjámin, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Forrai Botond, Gergely 444 Kornél, Hornák Bence, Jakus Balázs István, Kádár 012 István, Kasza Bence, Klász Viktória, Kopitkó Tünde, Kovács Péter Tamás, Körmöczi Dávid, Körtefái Dóra, Krasznai Anna, Magyar Róbert Attila, Mándoki László, Németh Flóra Boróka, Nenezic Patrick Uros, Osváth Botond, Páhoki Tamás, Pataki 245 Attila, Pázmán Előd, Pivoda Tamás, Sal Kristóf, Sallai Krisztina, Stein Ármin, Szalai Istvan, Szántó Benedek, Szemerédi Levente, Szépfalvi Bálint, Tomcsányi Gergely, Tompa Tamás Lajos, Tóth Bence Tamás, Varga-Umbrich Eszter, Zalavári Márton. 3 pontot kapott: Ardai István Tamás, Szőke Dániel, Tanner Martin, Topa Lukács, Wiandt Péter. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző.
A KöMaL 2015. októberi fizika feladatai