KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

P. 4856. A heavy object is projected upward at an initial speed of \(\displaystyle v_0\). What should the initial speed of another object projected upward \(\displaystyle \Delta t\) time later be in order that the two objects meet while the first one

\(\displaystyle a)\) is still ascending;

\(\displaystyle b)\) is at the highest point;

\(\displaystyle c)\) is descending?

\(\displaystyle d)\) What should the initial speed of the second object be in order that the descending first object meets the second one while the second one is ascending, is stationary, or is descending?

Data: \(\displaystyle v_0=5.0\) m/s, \(\displaystyle \Delta t=0.3\) s. (Air drag is negligible.)

(4 points)

Deadline expired on 10 October 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelöljük a második test kezdősebességét \(\displaystyle u_0\)-lal és a találkozásig eltelt időt (az első test indításától számítva) \(\displaystyle t\)-vel! Felírhatjuk, hogy

\(\displaystyle v_0t-\frac{g}{2}t^2=u_0(t-\Delta t)-\frac{g}{2}(t-\Delta t)^2,\)

vagyis

\(\displaystyle t=\frac{\tfrac12g\Delta t+u_0}{u_0-v_0+g\Delta t}\Delta t.\)

Válaszoljunk először a \(\displaystyle b)\) kérdésre! Ha a fenti \(\displaystyle t\) idő éppen \(\displaystyle v_0/g\)-vel egyenlő, akkor az első test legmagasabb helyzeténél találkoznak.

\(\displaystyle \frac{\tfrac12g\Delta t+u_0}{u_0-v_0+g\Delta t}\Delta t=\frac{v_0}{g},\)

innen

\(\displaystyle u_0=\frac{v_0^2+\tfrac12(g\Delta t)^2-v_0g\Delta t}{v_0-g\Delta t}=7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}. \)

\(\displaystyle a)\) Ha \(\displaystyle u_0>7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}\), akkor a találkozás pillanatában az első test még emelkedik.

\(\displaystyle c)\) Amennyiben \(\displaystyle u_0<7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}\), úgy a második test már lefelé mozog a találkozáskor, feltéve, hogy az egyáltalán bekövetkezik. Ehhez teljesülnie kell a \(\displaystyle t>0\) feltételnek is, vagyis annak, hogy

\(\displaystyle u_0>v_0-g\Delta t=2{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

\(\displaystyle d)\) Határesetben, amikor a második test pillanatnyi nyugalmi helyzetében történik a találkozás:

\(\displaystyle t=\Delta t+\frac{u_0}{g},\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{\tfrac12g\Delta t+u_0}{u_0-v_0+g\Delta t}\Delta t=\Delta t+\frac{u_0}{g}.\)

Ebből az egyenletből a második test kezdősebességére \(\displaystyle u_0=4{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}\) adódik.

Ha

\(\displaystyle 2{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}<u_0<4{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}, \)

akkor a második test már lefelé mozog a találkozáskor, ha viszont

\(\displaystyle 4{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}<u_0<7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}, \)

akkor még emelkedik.


Statistics on problem P. 4856.
126 students sent a solution.
4 points:Barabás Péter, Facskó Benedek, Fehér 169 Szilveszter, Pécsi 117 Ildikó, Weisz Máté.
3 points:63 students.
2 points:42 students.
1 point:14 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Physics of KöMaL, September 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley