KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem P. 4859. (September 2016)

P. 4859. A straight wire, having a certain length, is attached to a rechargeable battery of small internal resistance. The wire warms up to a temperature of \(\displaystyle 37~{}^\circ\)C, while the ambient temperature is \(\displaystyle 27~{}^\circ\)C. Then one third of the wire is cut off and the remaining part is attached to the same rechargeable battery. What will the eventual temperature of the wire be?

(4 pont)

Deadline expired on 10 October 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a vezeték hosszát \(\displaystyle \ell\)-lel! A vezeték elektromos ellenállása egyenesen arányos \(\displaystyle \ell\)-lel, tehát adott feszültségű áramforrásra kapcsolva a felvett teljesítmény \(\displaystyle \frac1\ell\)-lel arányos.

Tételezzük fel, hogy az ellenálláshuzal a felvett teljesítményt hővezetéssel adja le, a hősugárzás nem számottevő. Ekkor a \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű környezetben \(\displaystyle \ell (T-T_0)\)-lal arányos teljesítménnyel ad le hőt. Egyensúlyi állapotban tehát \(\displaystyle \frac1\ell\sim \ell (T-T_0)\), vagyis \(\displaystyle T-T_0\sim \frac{1}{\ell^2}.\) Ha a vezeték hosszát \(\displaystyle \tfrac23\)-ára csökkentjük, a hőmérsékletkülönbség \(\displaystyle \tfrac94\)-szeresére, vagyis 22,5 fokra növekszik. A huzal hőmérséklete ezek szerint \(\displaystyle 49{,}5\,^\circ\)C lesz.

Amennyiben a huzal hővezetéssel nem tud leadni hőt (pl. mert vákuumcsőben helyezkedik el), akkor a \(\displaystyle T^4\)-nel arányos hősugárzás játszik lényeges szerepet. Ebben az esetben a kialakuló \(\displaystyle T'\) hőmérsékletre a következő egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle T'^4-T_0^4=\frac94(T^4-T_0^4),\)

ahonnan a \(\displaystyle T_0=310~\)K és \(\displaystyle T=300~\)K adatok mellett \(\displaystyle T'=321~ {\rm K}=48\,^\circ\)C.

A valóságban a hővezetés és a hősugárzás egyaránt szerepet kap, mivel azonban a kétféle (szélsőséges) esetnek megfelelő hőmérsékletek alig térnek el egymástól, állíthatjuk, hogy reális körülmények között is a kialakuló hőmérséklet kb. \(\displaystyle 49\,^\circ\)C lesz.


Statistics:

83 students sent a solution.
4 points:Bege Áron, Bekes Nándor, Berzsák Bulcsú, Csenger Géza, Csire Roland, Csuha Boglárka, Di Giovanni András, Édes Lili, Elek Péter, Faisal Fahad AlSallom, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Iván Balázs, Jakus Balázs István, Kolontári Péter, Kormányos Hanna Rebeka, Krasznai Anna, Mácz Andrea, Magyar Máté, Molnár Mátyás, Murányi Albert, Németh 123 Balázs, Osváth Botond, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Simon Ákos, Szabó 199 Márton, Tibay Álmos, Tófalusi Ádám, Turcsányi Ádám, Vajay Mónika, Varga-Umbrich Eszter, Zöllner András, Zsombó István.
3 points:Bukor Benedek, Kondákor Márk, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Póta Balázs, Szakály Marcell, Szentivánszki Soma , Wolff Vilmos.
2 points:5 students.
1 point:20 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley