Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem P. 4863. (September 2016)

P. 4863. The density of electric charge on the surface of a plastic sphere of diameter 10 cm is \(\displaystyle 10~\mu{\rm C/m}^2\). The sphere is rotated about one of its diameter at a number of revolutions of 10 s\(\displaystyle {}^{-1}\). Determine both the direction and the magnitude of the magnetic induction at the centre of the sphere.

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a gömb sugarát \(\displaystyle R\)-rel, felületi töltéssűrűségét \(\displaystyle \eta\)-val, fordulatszámát pedig \(\displaystyle f\)-fel! A gömb töltése eszerint \(\displaystyle Q=4R^2\pi\eta\).

Vágjuk fel – gondolatban – a gömböt a forgástengelyere merőlegesen igen keskeny, \(\displaystyle \Delta z\) ,,magasságú'' gömbövekre, amelyeknek esetenként változó sugara \(\displaystyle r\). Egy-egy ilyen gömböv felülete \(\displaystyle 2R\pi\, \Delta z\) (vagyis minden szelet felülete ugyanakkora), a töltése tehát

\(\displaystyle \Delta Q=\frac{2R\pi\, \Delta z}{4R^2\pi}\,Q=\frac{Q}{2R}\,\Delta z.\)

A forgó (\(\displaystyle \Delta t=1/f\) időközönként körbeforduló) gömbövek töltése köráramokat hoz létre, amelyek áramerőssége:

\(\displaystyle \Delta I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=f\Delta Q = \frac{Qf}{2R}\cdot \Delta z.\)

Ezek a köráramok (a Biot–Savart-törvény szerint) a gömb középpontjában a forgástengellyel megegyező irányú,

\(\displaystyle \Delta B=\frac{\mu_0\Delta I}{2}\cdot \frac{r^2}{R^3}\, \Delta z\)

nagyságú mágneses indukciót eredményeznek. Az egész gömb mágneses indukciója a gömb középpontjában:

\(\displaystyle B=\sum \Delta B=\frac{\mu_0 Qf}{4\pi R^4} \cdot \left(\sum r^2\pi\,\Delta z\right). \)

A fenti képlet jobb oldalán a zárójelben álló szumma éppen a gömb \(\displaystyle \tfrac43 R^3\pi\) térfogata, így a keresett mágneses indukció:

\(\displaystyle B= \mu_0 f \frac{ 4R^2\pi\eta }{4\pi R^4} \,\frac{4R^3\pi}{3}=\frac{4\pi}{3 } \mu_0\eta R f \)

\(\displaystyle =\frac{4\pi}{3 }\cdot (1{,}26\cdot 10^{-6})\cdot(10\cdot10^{-6})\cdot0{,}05 \cdot10~\text{(SI egység)} =2{,6}\cdot 10^{-11}~{\rm T}, \)

meglehetősen kicsi érték. (Összehasonlításként a Föld mágneses indukciója \(\displaystyle 10^{-5}~\)T nagyságrendű.)


Statistics:

32 students sent a solution.
6 points:Csenger Géza, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Kormányos Hanna Rebeka, Marozsák Tóbiás , Mocskonyi Mirkó, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma , Zöllner András.
5 points:Faisal Fahad AlSallom, Iván Balázs, Németh 123 Balázs, Riskutia Balázs, Szakály Marcell, Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter.
4 points:1 student.
3 points:4 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.

Problems in Physics of KöMaL, September 2016