A P. 4864. feladat (2016. október)

P. 4864. Egy testet ugyanakkora kezdősebességgel két különböző szög alatt hajíthatunk el, hogy ugyanolyan messzire jusson. Mekkora ezen két szög, ha a mozgás ideje – elhanyagolva a közegellenállást – \(\displaystyle n\)-szer akkora az egyik, mint a másik esetben?

Strasser V. Benő (1884–1966) feladata

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel, a vízszinteshez képest \(\displaystyle \alpha\) szögben hajítunk el egy testet, akkor a függőleges irányú kezdősebessége \(\displaystyle v_0\sin\alpha\), a mozgásának ideje

\(\displaystyle t=\frac{2v_0}{g}\sin\alpha.\)

Ennyi idő alatt a test vízszintes irányban

\(\displaystyle d=tv_0 \cos\alpha=\frac{v_0^2}{g}\sin(2\alpha)\)

távolságra jut el. Ha ez a \(\displaystyle d\) távolság két különböző elhajítási szögre (\(\displaystyle \alpha_1\)-re és \(\displaystyle \alpha_2\)-re) is ugyanakkora, akkor

\(\displaystyle \sin(2\alpha_1)=\sin(2\alpha_2), \qquad \text{vagyis}\qquad \alpha_2=90^\circ-\alpha_1.\)

A mozgásidők aránya:

\(\displaystyle n=\frac{t_1}{t_2}=\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac{\sin\alpha_1}{\sin(90^\circ-\alpha_1)}=\tg\alpha_1.\)

Ezek szerint az elhajítások szöge

\(\displaystyle \alpha_1=\arctg n\qquad \text{és} \qquad \alpha_2=90^\circ-\alpha_1=\arctg \frac{1}{n}.\)

Statisztika:

113 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	67 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.

A KöMaL 2016. októberi fizika feladatai