Problem P. 4866. (October 2016)

P. 4866. Two pendulums of length \(\displaystyle l\) are hanging next to each other, such that the balls at their ends are touching each other as shown in the figure. The mass of one of the balls, \(\displaystyle M\), is much greater than that of the other, \(\displaystyle m\).

\(\displaystyle a)\) The pendulum on the left is displaced a bit, such that the elevation of the ball of mass \(\displaystyle M\) is \(\displaystyle h\ll \ell\), and then it is released. After the elastic collision of the balls what maximum height can the ball of mass \(\displaystyle m\) reach?

\(\displaystyle b)\) If both balls are deflected into opposite directions, such that both are raised to a height of \(\displaystyle h\ll \ell\), then what may be the maximum height to which the ball of mass \(\displaystyle m\) goes up after colliding elastically with the other ball?

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Az ütközést megelőző pillanatban a \(\displaystyle M\) tömegű golyó sebessége \(\displaystyle v=\sqrt{2gh}\), a másik golyó áll. Ha az ütközést a \(\displaystyle M\) tömegű golyóhöz rögzített koordináta-rendszerből szemléljük, a nagyobb tömegű golyót állónak, a másikat \(\displaystyle -v\) sebességgel mozgónak látjuk. Az ütközés után a kis golyó sebessége \(\displaystyle +v\)-re változik, ami az eredeti (álló) koordináta-rendszerből szemlélve \(\displaystyle 2v\) sebességnek felel meg. A kis golyó legnagyobb emelkedési magasságát (\(\displaystyle h_1\)-et) az energiatételből kaphatjuk meg:

\(\displaystyle \frac12 m(2v)^2= mgh_1,\qquad \text{azaz}\qquad h_1=\frac{2v^2}{g}=4h.\)

\(\displaystyle b)\) Az ütközés előtt mindkét golyó \(\displaystyle v=\sqrt{2gh}\) nagyságú, egymással ellentétes irányú sebességgel mozog. A nagy golyóhoz rögzített koordináta-rendszerből nézve a kis golyó sebessége \(\displaystyle -2v\), ami az ütközés után \(\displaystyle +2v\)-re változik. Az álló koordináta-rendszerben ez \(\displaystyle 3v\) sebességnek felel meg, amihez \(\displaystyle h_2=9h\) emelkedési magasság tartozik.

A megoldás (mindkét esetben) akkor is érvényes marad, ha a kezdeti kitérés nem lenne kicsi, de a közegellenállás még elhanyagolható.

Statistics:

59 students sent a solution.
4 points:	Balaskó Dominik, Balog 518 Lóránd, Berke Martin, Bukor Benedek, Csóka987 Benedek, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Hajnal Dániel Konrád, Illés Gergely, Iván Balázs, Karl János, Kiss Dániel Márk, Klučka Vivien, Kolontári Péter, Krasznai Anna, Magyar Róbert Attila, Markó Gábor, Mocskonyi Mirkó, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Papp 121 Krisztina, Pataki 245 Attila, Póta Balázs, Sallai Krisztina, Tófalusi Ádám, Turcsányi Ádám.
3 points:	Ardai István Tamás, Bege Áron, Fajszi Bulcsú, Illyés András, Molnár 957 Barnabás, Sal Dávid, Takács Attila, Varga-Umbrich Eszter.
2 points:	7 students.
1 point:	6 students.
0 point:	5 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2016