KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem P. 4867. (October 2016)

P. 4867. Two objects, which are moving into the same direction collide totally inelastically with each other. The mass of one of the objects is \(\displaystyle n\) times as much as that of the other, whilst its speed is one-\(\displaystyle n\)-th of the speed of the other (\(\displaystyle n\ge 2\) is an integer). For which \(\displaystyle n\) will at least half of the kinetic energy be dissipated?

(4 pont)

Deadline expired on 10 November 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az egyik test tömege \(\displaystyle m\), sebessége \(\displaystyle v\), a másik tömege \(\displaystyle nm\), sebessége \(\displaystyle v/n\). A két test ütközés előtti összes mozgási energiája

\(\displaystyle E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}(nm) \left(\frac{v}n\right)^2=\frac{1}{2}mv^2\,\frac{1+n}{n},\)

az összimpulzusuk pedig \(\displaystyle I=2mv\).

Az ütközés utáni közös sebességük

\(\displaystyle v'=\frac{I}{m+nm}=\frac{2}{1+n}v,\)

az összes mozgási energiájuk tehát

\(\displaystyle E'=\frac{1}{2}(m+nm)v'^2=\frac{1}{2}mv^2\,\frac{4}{1+n}.\)

A megadott \(\displaystyle E'\le \frac{1}{2}E\) feltétel akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \frac{4}{1+n}\le \frac{1+n}{2n},\qquad \text {azaz}\qquad n^2-6n+1\ge 0.\)

Ezen másodfokú egyenlőtlenség megoldása (az \(\displaystyle n\ge2\) és egész feltételt is figyelembe véve): \(\displaystyle n\ge 6.\)


Statistics:

118 students sent a solution.
4 points:83 students.
3 points:19 students.
2 points:9 students.
1 point:5 students.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley