KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

P. 4869. A spring (designed for both compression and extension) of length \(\displaystyle \ell\) is compressed to a length of \(\displaystyle d<\ell/2\) with a force of \(\displaystyle F_1\). Then the spring is halved and the two alike springs are held next to each other and compressed (in parallel) again, to a length of \(\displaystyle d\). What is the magnitude of the force \(\displaystyle F_2\), which is to be exerted?

How many equal pieces should a spring of length \(\displaystyle \ell=10d\) be cut into, in order to maximize the force \(\displaystyle F_n\), which is exerted when all the pieces, held parallel, are compressed to a length of \(\displaystyle d\)? What is the magnitude of this force?

(5 points)

Deadline expired on 10 November 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Ha a rugóállandó \(\displaystyle D\), akkor fennáll

\(\displaystyle F_1=D(\ell-d).\)

A félbevágott rugó rugóállandója \(\displaystyle 2D\), hiszen ugyanakkora erő hatására csak fele akkorát változik meg a hossza, mint az eredeti rugó tette volna. Két ilyen, egymással ,,párhuzamosan kapcsolt'' rugó \(\displaystyle d\) hosszra történő összenyomásához

\(\displaystyle F_2=2\cdot (2D)\cdot \left(\frac{\ell}{2}-d\right)=2\frac{ \ell-2d }{\ell-d}F_1\)

erőre van szükség.

Hasonló módon kapjuk, hogy az eredetileg \(\displaystyle \ell=10d\) hosszúságú rugó \(\displaystyle n\) részre vágása, majd a részek párhuzamos kapcsolása után a kérdéses erő

\(\displaystyle F_n=n\cdot (nD)\cdot \left(\frac{\ell}{n}-d\right)=D\cdot (\ell n-dn^2).\)

Az utóbbi zárójelben álló kifejezés teljes négyzetté alakítható:

\(\displaystyle \ell n-dn^2=\frac{\ell^2}{4d}-d\left(n-\frac{\ell}{2d}\right)^2\le \frac{\ell^2}{4d}.\)

Az egyenlőség \(\displaystyle n=\ell/(2d)=5\) esetén áll fenn, és a szélsőértékhez tartozó erő:

\(\displaystyle F_5=25\,dD=\frac{25}{9}\,F_1.\)


Statistics on problem P. 4869.
75 students sent a solution.
5 points:Bartók Imre, Bege Áron, Bekes Nándor, Bukor Benedek, Csenger Géza, Csóka987 Benedek, Csuha Boglárka, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Hajnal Dániel Konrád, Illés Gergely, Jakus Balázs István, Kondákor Márk, Kormányos Hanna Rebeka, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Mocskonyi Mirkó, Molnár 957 Barnabás, Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pataki 245 Attila, Póta Balázs, Riskutia Balázs, Sal Dávid, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Török Péter, Váczy János, Varga-Umbrich Eszter, Zsombó István.
4 points:19 students.
3 points:3 students.
2 points:5 students.
1 point:12 students.


  • Problems in Physics of KöMaL, October 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley