Problem P. 4869. (October 2016)

P. 4869. A spring (designed for both compression and extension) of length \(\displaystyle \ell\) is compressed to a length of \(\displaystyle d<\ell/2\) with a force of \(\displaystyle F_1\). Then the spring is halved and the two alike springs are held next to each other and compressed (in parallel) again, to a length of \(\displaystyle d\). What is the magnitude of the force \(\displaystyle F_2\), which is to be exerted?

How many equal pieces should a spring of length \(\displaystyle \ell=10d\) be cut into, in order to maximize the force \(\displaystyle F_n\), which is exerted when all the pieces, held parallel, are compressed to a length of \(\displaystyle d\)? What is the magnitude of this force?

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a rugóállandó \(\displaystyle D\), akkor fennáll

\(\displaystyle F_1=D(\ell-d).\)

A félbevágott rugó rugóállandója \(\displaystyle 2D\), hiszen ugyanakkora erő hatására csak feleakkorát változik meg a hossza, mint az eredeti rugó tette volna. Két ilyen, egymással ,,párhuzamosan kapcsolt'' rugó \(\displaystyle d\) hosszra történő összenyomásához

\(\displaystyle F_2=2\cdot (2D)\cdot \left(\frac{\ell}{2}-d\right)=2\frac{ \ell-2d }{\ell-d}F_1\)

erőre van szükség.

Hasonló módon kapjuk, hogy az eredetileg \(\displaystyle \ell=10d\) hosszúságú rugó \(\displaystyle n\) részre vágása, majd a részek párhuzamos kapcsolása után a kérdéses erő

\(\displaystyle F_n=n\cdot (nD)\cdot \left(\frac{\ell}{n}-d\right)=D\cdot (\ell n-dn^2).\)

Az utóbbi zárójelben álló kifejezés teljes négyzetté alakítható:

\(\displaystyle \ell n-dn^2=\frac{\ell^2}{4d}-d\left(n-\frac{\ell}{2d}\right)^2\le \frac{\ell^2}{4d}.\)

Az egyenlőség \(\displaystyle n=\ell/(2d)=5\) esetén áll fenn, és a szélsőértékhez tartozó erő:

\(\displaystyle F_5=25\,dD=\frac{25}{9}\,F_1.\)

Statistics:

75 students sent a solution.
5 points:	Bartók Imre, Bege Áron, Bekes Nándor, Bukor Benedek, Csenger Géza, Csóka987 Benedek, Csuha Boglárka, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Hajnal Dániel Konrád, Illés Gergely, Jakus Balázs István, Kondákor Márk, Kormányos Hanna Rebeka, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Mocskonyi Mirkó, Molnár 957 Barnabás, Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pataki 245 Attila, Póta Balázs, Riskutia Balázs, Sal Dávid, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Török Péter, Váczy János, Varga-Umbrich Eszter, Zsombó István.
4 points:	19 students.
3 points:	3 students.
2 points:	5 students.
1 point:	12 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2016