KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

P. 4873. A resistor of constant resistance is connected to the generator of a bicycle (sometimes wrongly named as ``dynamo''). To rotate the generator at a constant rotational speed of revolutions \(\displaystyle n\) and \(\displaystyle 2n\), the average torque to be applied is \(\displaystyle M_1\) and \(\displaystyle 1.8\,M_1\), respectively. What is the average torque in order to rotate the generator at a rotational speed of \(\displaystyle 3n\)? The mechanical losses of the generator can be neglected.

(6 points)

Deadline expired on 10 November 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A kerékpár generátora az \(\displaystyle f\) fordulatszámmal arányos \(\displaystyle U\) váltófeszültséget hoz létre. A generátor tekercsének induktív ellenállása ugyancsak \(\displaystyle f\)-fel arányos, a vele sorbakapcsolt állandó ohmos ellenállással együtt a teljes áramkör impedanciája \(\displaystyle Z=\sqrt{c_1 f^2+c_2}\) alakban írható fel, ahol \(\displaystyle c_1\) és \(\displaystyle c_2\) állandók. Az áramkör áramerőssége \(\displaystyle I=U/Z\), az ohmos ellenálláson leadott teljesítmény \(\displaystyle I^2\)-tel arányos, tehát

\(\displaystyle P=\frac{f^2}{k_1 f^2+k_2}\)

alakú, ahol \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) állandók. Másrészt a leadott teljesítmény az \(\displaystyle f\) fordulatszám és a forgatáshoz szükséges \(\displaystyle M\) forgatónyomaték szorzataként is felírható (\(\displaystyle P=fM\)), ahonnan

\(\displaystyle M=\frac{f}{k_1 f^2+k_2}.\)

Írjuk fel ezt az összefüggést a feladatban szereplő \(\displaystyle f=n\), \(\displaystyle f=2n\) és \(\displaystyle f=3n\) fordulatszámokra:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle M_1=\frac{n}{k_1 n^2+k_2},\)
\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle M_2=1{,}8M_1=\frac{2n}{4k_1 n^2+k_2},\)

valamint

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle M_3=\frac{3n}{9k_1 n^2+k_2}.\)

Az (1) és (2) összefüggésből \(\displaystyle k_2=26k_1n^2\), a (3) és (1) hányadosából pedig

\(\displaystyle M_3=\frac{81}{35}M_1\approx 2{,}3\,M_1\)

adódik.

Megjegyzések. 1. A fordulatszám növelésével a szükséges forgatónyomaték egy ideig növekszik, majd csökken. Általában \(\displaystyle N\cdot n\) fordulatszám \(\displaystyle M_N\) nyomatékára fennáll, hogy

\(\displaystyle \frac{M_N}{M_1}=\frac{27\,N}{N^2+26},\)

és ez a kifejezés \(\displaystyle N=\sqrt{26}\) esetén, az egész \(\displaystyle N\)-ek között pedig \(\displaystyle N=5\)-nél a legnagyobb.

2. A kerékpárok generátorának hasznos tulajdonsága, hogy a leadott teljesítmény nagy sebesség (nagy fordulatszám) mellett sem növekszik korlátlanul, hanem (a tekercs induktivitásának növekedése miatt) véges értékű marad. Ha ez nem lenne így, a lámpa izzója könnyen kiéghetne.


Statistics on problem P. 4873.
18 students sent a solution.
6 points:Bekes Nándor, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél.
3 points:1 student.
1 point:11 students.


  • Problems in Physics of KöMaL, October 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley