Problem P. 4874. (November 2016)

P. 4874. A cyclist rides his bicycle at a constant speed of \(\displaystyle v\) along a road which is parallel to the railway. The trains, which move in the same direction as the cyclist, overtake him in \(\displaystyle t_1\) time intervals, and the trains, which move in the opposite direction as the cyclist, meet the cyclist in \(\displaystyle t_2\) time intervals. The trains depart from the two terminals in the same and equal time intervals. What is the average speed of the trains and how many minutes elapse between the departure of two (consecutive) trains?

(Data: \(\displaystyle v=14\) km/h, \(\displaystyle t_1=15\) minutes, \(\displaystyle t_2=7.5\) minutes.)

(4 pont)

Deadline expired on December 12, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a HÉV szerelvények átlagsebességét \(\displaystyle c\)-vel és az indításuk között eltelő időt \(\displaystyle \Delta t\)-vel. (Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy a szerelvények egyenletesen mozognak, és a megállókban eltöltött idejük elhanyagolhatóan kicsi.)

Tekintsük először a kerékpárossal azonos irányban haladó HÉV-eket, és mérjük az időt at egyik találkozás pillanatától! A kerékpáros \(\displaystyle t_1\) idő alatt \(\displaystyle vt_1\) utat tesz meg a következő találkozás helyszínéig, a következő szerelvény pedig, amelyik \(\displaystyle \Delta t\)-vel kevesebb idő alatt teszi meg ugyanezt az utat:

\(\displaystyle vt_1=c(t_1-\Delta t),\qquad \text{vagyis}\qquad \frac{\Delta t}{t_1}=1-\frac{v}{c}.\)

Hasonló megfontolással a vele szemben haladó szerelvényekre felírható:

\(\displaystyle vt_2=c( \Delta t-t_2),\qquad \text{azaz}\qquad \frac{\Delta t}{t_2}=1+\frac{v}{c}.\)

A fenti két egyenletet elosztva egymással ezt kapjuk:

\(\displaystyle \frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}=\frac{t_2}{t_1}=\frac{1}{2}, \)

ahonnan a HÉV szerelvények sebességére

\(\displaystyle \frac{v}{c}=\frac{1}{3},\qquad \text{tehát}\qquad c=42~\frac{\rm km}{\rm h}\)

adódik, az indítási időkülönbségekre pedig

\(\displaystyle \Delta t=\frac{2t_1t_2}{t_1+t_2}=10~\text{perc},\)

ez a \(\displaystyle t_1\) és \(\displaystyle t_2\) időtartamok harmonikus középértéke.

Megjegyzés: Ha nem kötjük ki, hogy a szerelvények sebessége állandó, hanem \(\displaystyle c\)-t (a megállóknál töltött időt is beszámítva) átlagsebességnek tekintjük, továbbá a \(\displaystyle t_1\), \(\displaystyle t_2\) időközöket is átlagértékként értelmezzük, a fentivel megegyező eredményt kapunk.

Statistics:

119 students sent a solution.
4 points:	94 students.
3 points:	15 students.
2 points:	2 students.
1 point:	5 students.
0 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2016