KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

P. 4879. According to a science-fiction film four spaceships are moving together somewhere in the remote space without using their engines. The spaceships are at the four vertices of a regular tetrahedron of edges 10 km. The mass of each spaceship is \(\displaystyle 2\cdot 10^8\) kg. (The size of the spaceships is much smaller than the distance between them.)

\(\displaystyle a)\) What is the magnitude and the direction of the gravitational force exerted on the spaceships?

\(\displaystyle b)\) What is the charge on each spaceship, if the distance between them remains constant in time?

\(\displaystyle c)\) How would the four spaceships move if each used its engine for a short time and each started to move towards the centre of the tetrahedron at a speed of \(\displaystyle v_0=10\) m/s?

(4 points)

Deadline expired on 12 December 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha az űrhajók távolsága \(\displaystyle a\), akkor a közöttük ható gravitációs erő nagysága páronként:

\(\displaystyle F_0=\gamma\frac{m^2}{a^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\frac{(2\cdot10^8)^2}{(1\cdot10^4)^2}~\rm N=0{,}027~\rm N.\)

Az egyes űrhajókra ható eredő gravitációs erő (felhasználva, hogy a szabályos tetraéder magassága \(\displaystyle \sqrt{2/3}\,a\)):

\(\displaystyle F_\text{grav.}=3F_0\sqrt{\frac{2}{3}}=0{,}066~\rm N.\)

Az eredő gravitációs erő mindegyik űrhajót a tetraéder középpontja felé húzza.

\(\displaystyle b)\) Amennyiben az űrhajók \(\displaystyle Q\) töltése egyforma nagyságú, azonos előjelű, és teljesül a

\(\displaystyle k\frac{Q^2}{a^2}=\gamma\frac{m^2}{a^2}\)

feltétel, akkor az elektrosztatikus taszítóerő éppen kiegyenlíti a gravitációs vonzóerőt. Ekkor az űrhajók gyorsulása nulla, és így a közöttük lévő távolság maradhat időben állandó. Ennek feltétele:

\(\displaystyle Q=m\sqrt{\frac{\gamma}{k}}= 2\cdot 10^8\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}}{9\cdot10^{9}}}~\rm C=17~\rm mC. \)

\(\displaystyle c)\) A gravitációs és az elektrosztatikus erő távolságfüggése megegyezik, tehát ha ez a két erő kezdetben kiegyenlítette egymást, akkor az erőegyensúly a továbbiakban is fennmarad. Az űrhajók tehát egyenes vonalú egyenletes mozgással fognak közeledni a tetraéder középpontjához, és ha nem használják a hajtóműveiket, kb. 10 perc múlva ott találkoznak.


Statistics on problem P. 4879.
81 students sent a solution.
4 points:Ardai István Tamás, Balaskó Dominik, Édes Lili, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Hanusz Fruzsina, Havasi Márton, Illés Gergely, Jakus Balázs István, Jánosdeák Márk, Kertész Ferenc, Klučka Vivien, Kolontári Péter, Kovács 124 Marcell, Mamuzsics Gergő Bence, Mocskonyi Mirkó, Molnár 957 Barnabás, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Nagy 284 Domonkos, Nguyen Viet Hung, Papp 121 Krisztina, Pataki 245 Attila, Póta Balázs, Pszota Máté, Richlik Róbert, Sugár Soma, Szentivánszki Soma , Tóth 111 Máté , Wesniczky Albert, Zöllner András, Zsombó István.
3 points:18 students.
2 points:15 students.
1 point:9 students.
0 point:6 students.


  • Problems in Physics of KöMaL, November 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley