A P. 4879. feladat (2016. november)

P. 4879. Egy tudományos-fantasztikus film szerint négy űrhajó kötelékben mozog a távoli világűrben, kikapcsolt hajtóművel. Az űrhajók egy 10 km oldalélű, szabályos tetraéder csúcsaiban helyezkednek el, mindegyikük tömege \(\displaystyle 2\cdot 10^8\) kg. (Az űrhajók mérete sokkal kisebb, mint a közöttük lévő távolság.)

\(\displaystyle a)\) Mekkora és milyen irányú gravitációs erő hat az űrhajókra?

\(\displaystyle b)\) Mekkora elektromos töltéssel rendelkeznek az űrhajók, ha a közöttük lévő távolság időben állandó marad?

\(\displaystyle c)\) Hogyan mozogna a négy űrhajó, ha a segédhajtóművük rövid ideig tartó működtetése után mindegyikük \(\displaystyle v_0=10\) m/s sebességgel megindulna a tetraéder középpontja felé?

Közli: Nagy Piroska Mária, Dunakeszi

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha az űrhajók távolsága \(\displaystyle a\), akkor a közöttük ható gravitációs erő nagysága páronként:

\(\displaystyle F_0=\gamma\frac{m^2}{a^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\frac{(2\cdot10^8)^2}{(1\cdot10^4)^2}~\rm N=0{,}027~\rm N.\)

Az egyes űrhajókra ható eredő gravitációs erő (felhasználva, hogy a szabályos tetraéder magassága \(\displaystyle \sqrt{2/3}\,a\)):

\(\displaystyle F_\text{grav.}=3F_0\sqrt{\frac{2}{3}}=0{,}066~\rm N.\)

Az eredő gravitációs erő mindegyik űrhajót a tetraéder középpontja felé húzza.

\(\displaystyle b)\) Amennyiben az űrhajók \(\displaystyle Q\) töltése egyforma nagyságú, azonos előjelű, és teljesül a

\(\displaystyle k\frac{Q^2}{a^2}=\gamma\frac{m^2}{a^2}\)

feltétel, akkor az elektrosztatikus taszítóerő éppen kiegyenlíti a gravitációs vonzóerőt. Ekkor az űrhajók gyorsulása nulla, és így a közöttük lévő távolság maradhat időben állandó. Ennek feltétele:

\(\displaystyle Q=m\sqrt{\frac{\gamma}{k}}= 2\cdot 10^8\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}}{9\cdot10^{9}}}~\rm C=17~\rm mC. \)

\(\displaystyle c)\) A gravitációs és az elektrosztatikus erő távolságfüggése megegyezik, tehát ha ez a két erő kezdetben kiegyenlítette egymást, akkor az erőegyensúly a továbbiakban is fennmarad. Az űrhajók tehát egyenes vonalú egyenletes mozgással fognak közeledni a tetraéder középpontjához, és ha nem használják a hajtóműveiket, kb. 10 perc múlva ott találkoznak.

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ardai István Tamás, Balaskó Dominik, Édes Lili, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Hanusz Fruzsina, Havasi Márton, Illés Gergely, Jakus Balázs István, Jánosdeák Márk, Kertész Ferenc, Klučka Vivien, Kolontári Péter, Kovács 124 Marcell, Mamuzsics Gergő Bence, Mocskonyi Mirkó, Molnár 957 Barnabás, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Nagy 284 Domonkos, Nguyen Viet Hung, Papp 121 Krisztina, Pataki 245 Attila, Póta Balázs, Pszota Máté, Richlik Róbert, Sugár Soma, Szentivánszki Soma , Tóth 111 Máté , Wesniczky Albert, Zöllner András, Zsombó István.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2016. novemberi fizika feladatai