KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem P. 4898. (January 2017)

P. 4898. The arms of a U-shaped tube are vertical. The arm on the right side is closed and the other arm is closed by a moveable piston. There is mercury in the tube and initially the level of the mercury in the arms is the same. Above the mercury, there is an air column of height \(\displaystyle h\) in each arm, and the initial air pressure is the same as the atmospheric pressure in both arms. How much does the mercury level in each arm move if the piston is slowly pushed down by a distance of \(\displaystyle h/2\)?

Data: \(\displaystyle h=30\) cm, and the atmospheric pressure is the same as the pressure of a mercury column of height \(\displaystyle H=76\) cm.

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

A dugattyú lassú lenyomása miatt mindkét oldalon izotermikusan változik meg a levegő állapota. A Boyle–Mariotte-törvény szerint

\(\displaystyle Ahp_0=A\left(\frac{h}{2}+x\right)p_1,\)

\(\displaystyle Ahp_0=A\left(h-x\right)p_2,\)

ahol \(\displaystyle A\) a cső belső keresztmetszetének területe, \(\displaystyle x\) a higanyszintek elmozdulása, \(\displaystyle p_1\) és \(\displaystyle p_2\) a megváltozott gáznyomások, \(\displaystyle p_0=\varrho gH\) a külső légnyomás.

A két oldalon lévő gáznyomások különbsége \(\displaystyle 2x\) magas higanyoszlop nyomásával egyezik meg:

\(\displaystyle p_1-p_2=2x\varrho g.\)

Ezekből az egyenletekből

\(\displaystyle Hh\left(\frac{h}{2}-2x\right)=2x(h-x)\left(\frac{h}{2}+x\right)\)

következik, ami a megadott számadatokkal (\(\displaystyle x\)-et centiméterekben mérve) így írható:

\(\displaystyle x^3-15x^2-2730x+17\,100=0.\)

Az egyenletnek három valós gyöke van:

\(\displaystyle x_1\approx -48{,}5; \quad x_2\approx 6{,}1; \quad x_3\approx 57{,}4,\)

ezek közül csak \(\displaystyle x_2\) felel meg a feladat követelményeinek.

A higanyszintek tehát 6,1 cm-t mozdulnak el a dugattyú lassú lenyomásának következtében; természetesen a dugattyú alatt lefelé, a másik szárban pedig felfelé.


Statistics:

63 students sent a solution.
4 points:Balaskó Dominik, Bartók Imre, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jánosik Áron, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kovács 526 Tamás, Makovsky Mihály, Merkl Gergely, Murányi Albert, Németh 123 Balázs, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pataki 245 Attila, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Tófalusi Ádám.
3 points:Bekes Nándor, Fajszi Bulcsú, Fazakas Réka, Guba Zoltán, Hajnal Dániel Konrád, Illyés András, Kántor Bence, Kavas Katalin, Klučka Vivien, Magyar Róbert Attila, Makai Enikő, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Nagy 555 Botond, Ónodi Gergely, Papp 121 Krisztina, Szentivánszki Soma , Tibay Álmos, Varga-Umbrich Eszter, Weisz Máté, Zöllner András.
2 points:6 students.
1 point:11 students.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley