A P. 4904. feladat (2017. január)

P. 4904. Az ábrán látható kapcsolásban a \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátor feszültsége kezdetben \(\displaystyle 2U_0\), a \(\displaystyle 2C\) kapacitású kondenzátor töltetlen.

Mennyi hő fejlődik az \(\displaystyle R\) ellenálláson, miután zártuk a kapcsolót?

Közli: Szász Krisztián, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kapcsoló zárása után az ellenálláson (időben változó nagyságú) áram folyik keresztül, ennek az áramnak a hőhatására vagyunk kiváncsiak. A Joule-hő például az időben változó \(\displaystyle P=I^2R\) teljesítmény integrálásával határozható meg, de elemi úton, az energiaviszonyok megvizsgálásával is kiszámítható.

Tudjuk, hogy a \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátor feszültségének nagysága \(\displaystyle 2U_0\), de a feszültség előjele nem derül ki a feladat szövegéből. Emiatt meg kell vizsgálnunk mindkét polaritás lehetőségét.

\(\displaystyle a)\) Legyen a \(\displaystyle C\) kapacitású (a rajzon felső) kondenzátor jobb oldali lemeze kezdetben \(\displaystyle +2CU_0\) töltésű, a bal oldali lemez töltése ennek \(\displaystyle (-1)\)-szerese. A másik (alsó) kondenzátor töltetlen. A kapcsoló zárása után a felső kondenzátor átad valamekkora \(\displaystyle \Delta Q\) töltést az alsó kondenzátornak, így a töltésük \(\displaystyle 2CU_0-\Delta Q\), illetve \(\displaystyle \Delta Q\) lesz. Kirchhoff II. törvénye szerint az áramkörben a körfeszültség nulla:

\(\displaystyle U_0+\frac{2CU_0-\Delta Q}{C}-\frac{\Delta Q}{2C}=0,\)

ahonnan kiszámítható az átadott töltés:

\(\displaystyle \Delta Q=2CU_0.\)

Ugyanekkora töltés kerül a felső kondenzátor bal oldali lemezére, ezt a telep adja le. Végeredményben a felső kondenzátor elveszíti az összes töltését, az alsó pedig \(\displaystyle 2CU_0\) töltéssel feltöltődik.

A két kondenzátor elektrosztatikus összenergiája kezdetben

\(\displaystyle {\cal E}_1=\frac{1}{2}\frac{(2CU_0)^2}{C}+0=2CU_0^2\)

volt. A kapcsoló zárása után kialakult helyzetben a kondenzátorok összenergiája:

\(\displaystyle {\cal E}_2=0+\frac{1}{2}\frac{(2CU_0)^2}{2C}=CU_0^2.\)

Az elektrosztatikus energia megváltozása:

\(\displaystyle \Delta {\cal E}_\text{kondenzátor}={\cal E}_2-{\cal E}_1= -CU_0^2.\)

Ne feledkezzünk meg arról sem, hogy a két kondenzátor csak a teleppel együtt alkot zárt rendszert, és a folyamat során a telep energiája is megváltozik, hiszen lead \(\displaystyle \Delta Q\) töltést:

\(\displaystyle \Delta {\cal E}_\text{telep}=-U_0\Delta Q=-2CU_0^2.\)

A rendszer teljes energiájának csökkenése az ellenálláson fejlődő \(\displaystyle W\) hővel egyenlő:

\(\displaystyle W=-\Delta {\cal E}_\text{kondenzátor}-\Delta {\cal E}_\text{telep}=+3CU_0^2.\)

\(\displaystyle b)\) Hasonló módon számolhatjuk ki a másik polaritással feltöltött kondenzátor esetét is. Ha a felső kondenzátor jobb oldali lemezén kezdetben \(\displaystyle -2CU_0\) töltés van, a kapcsoló zárása után eltávozik róla \(\displaystyle \Delta Q\) töltés, akkor a huroktörvény szerint

\(\displaystyle U_0+\frac{-2CU_0-\Delta Q}{C}-\frac{\Delta Q}{2C}=0.\)

Innen következik, hogy

\(\displaystyle \Delta Q=-\frac{2}{3}CU_0,\)

a felső kondenzátor jobb oldali lemezének töltése tehát \(\displaystyle -\frac{4}{3}CU_0\)-ra, az alsó kondenzátor töltése pedig \(\displaystyle \pm \frac{2}{3}CU_0\)-ra változik.

Az energiaviszonyok változása most így alakul:

\(\displaystyle \Delta {\cal E}_\text{kondenzátor}={\cal E}_2-{\cal E}_1= \frac12 \left(\frac{16}{9}+\frac{4}{9}\frac{1}{2}-4\right)CU_0^2=-CU_0^2,\)

vagyis ugyanannyi, mint az előző esetben, de a telep energiaváltozása

\(\displaystyle \Delta {\cal E}_\text{telep}=-U_0\Delta Q=\frac23CU_0^2.\)

(A telep most felvesz töltéseket, emiatt az energiája növekszik.)

A fejlődő hő ebben az esetben

\(\displaystyle W=-\Delta {\cal E}_\text{kondenzátor}-\Delta {\cal E}_\text{telep}=+\frac13CU_0^2.\)

Megjegyzés. Belátható, hogy ha egy ellenálláson időben exponenciálisan csökkenő áram folyik keresztül (esetünkben éppen ez történik), akkor a kisülési folyamat során fejlődő teljes Joule-hő az ellenállásra eső kezdeti (maximális) feszültség és az ellenálláson átfolyó töltés szorzatának felével egyezik meg. A feladatban szereplő kapcsolásnál ez

\(\displaystyle \tfrac12 (3U_0)(2CU_0)=3CU_0^2,\qquad \text{illetve}\qquad \tfrac12 (-U_0)(-\tfrac23CU_0)=\tfrac13CU_0^2.\)

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Sal Dávid, Szentivánszki Soma .
5 pontot kapott:	Bekes Nándor, Kolontári Péter, Németh 123 Balázs, Tófalusi Ádám.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. januári fizika feladatai