Problem P. 4910. (February 2017)

P. 4910. We would like to go from point \(\displaystyle B\) to point \(\displaystyle A\), which points are both in a forest. In any direction among the trees we can walk at a speed of \(\displaystyle u\). There is however exactly one straight road through the forest along which it is easy to go, at a speed of \(\displaystyle ku\), \(\displaystyle k>1\). Point \(\displaystyle A\) is on this road, but point \(\displaystyle B\) is not, and the angle between the road and the line segment \(\displaystyle AB\) is \(\displaystyle \alpha\). How should we walk in order to reach point \(\displaystyle A\) from \(\displaystyle B\) in the shortest time?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A Fermat-elv alapján átfogalmazhatjuk a feladatot fénytörési (teljes visszaverődés határszöge) problémává. Úgy érdemes haladjunk, hogy az ösvényt olyan \(\displaystyle \varphi\) szög alatt érjük el, amelyre \(\displaystyle k\cos\varphi=1.\) Ez a megoldás azonban csak \(\displaystyle k\cos\alpha>1\) esetén érvényes, hiszen \(\displaystyle \varphi>\alpha\). Amennyiben \(\displaystyle k\cos\alpha\le 1\), a legrövidebb idejű mozgás az, ha egyenesen haladunk az erdőben \(\displaystyle B\)-ből \(\displaystyle A\)-ba.

Statistics:

59 students sent a solution.
5 points:	Ardai István Tamás, Bekes Nándor, Bukor Benedek, Di Giovanni András, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kondákor Márk, Kürti Zoltán, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Nenezic Patrick Uros, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Szakály Marcell, Szentivánszki Soma , Veres Károly.
4 points:	Balaskó Dominik, Bartók Imre, Csire Roland, Csóka987 Benedek, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Fehér 169 Szilveszter, Fehérkuti Anna, Hajnal Dániel Konrád, Jakus Balázs István, Jánosdeák Márk, Kozák András, Krasznai Anna, Magyar Róbert Attila, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Molnár 957 Barnabás, Morvai Orsolya, Nagy 284 Domonkos, Németh 777 Róbert, Ónodi Gergely, Pataki 245 Attila, Paulovics Péter, Póta Balázs, Takács Attila, Tófalusi Ádám, Turcsányi Ádám, Varga-Umbrich Eszter, Zöllner András.
3 points:	3 students.
2 points:	5 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2017