Problem P. 4914. (February 2017)
P. 4914. In a series \(\displaystyle RL\) circuit \(\displaystyle (a)\) the phase difference between the voltage and the current is \(\displaystyle 45^\circ\). This phase difference is \(\displaystyle 65^\circ\) and \(\displaystyle 70^\circ\), when another inductor of inductance \(\displaystyle L\) (same as the inductance of the coil in the circuit) is connected in series into the circuit, once next to the resistor as shown in figure \(\displaystyle (b)\) and then next to the original inductor as shown in figure \(\displaystyle (c)\), respectively. How can this happen?
What is the ratio of the impedances in the three cases?
(5 pont)
Deadline expired on March 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A két tekercs az \(\displaystyle L\) önindukcióján kívül valamekkora \(\displaystyle M\) kölcsönös indukcióval is hozzájárul az eredő impedancia és a fázistolás kialakításához. Mindhárom esetben \(\displaystyle Z=\frac{R}{\cos\varphi}\), tehát a keresett arány:
\(\displaystyle Z_a:Z_b:Z_c=\frac{1}{\cos45^\circ}:\frac{1}{\cos65^\circ}:\frac{1}{\cos70^\circ}= 1{,}41:2{,}37:2{,}92,\)
ami közelítőleg a \(\displaystyle 3:5:6\) aránynak felel meg.
A kapcsolás induktív részének nagysága \(\displaystyle L_\text{eredő}=\frac{R}{\omega} \tg\varphi\) módon számítható. A három esetben
\(\displaystyle L_a=L,\qquad L_b=2{,}14\frac{R}{\omega},\qquad L_c=2{,}74\frac{R}{\omega}.\)
A \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) esetben az eredő induktivitás \(\displaystyle 2(L+M)=2(1+k)L\) módon is felírható, ahol \(\displaystyle k=M/L\) a két tekercs csatolásának erősségére jellemző szám. A fenti képletekből leolvasható, hogy a távolabbi tekercsekre \(\displaystyle k_b=0{,}07\), a közelebbiekre pedig \(\displaystyle k_c=0{,}37\) a csatolás erőssége.
Statistics:
22 students sent a solution. 5 points: Bartók Imre, Csire Roland, Csuha Boglárka, Di Giovanni András, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám.
Problems in Physics of KöMaL, February 2017