 |
A P. 4917. feladat (2017. március) |
P. 4917. Egy vízszintes félsíkon a súrlódási együttható egyenesen arányos a félsíkot határoló egyenestől mért távolsággal: \(\displaystyle \mu=k\cdot x\). Ettől az egyenestől indul rá merőleges \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel egy lapos kis test. Mennyi idő múlva és hol áll meg?
Adatok: \(\displaystyle v_0=2~\frac{\rm m}{\rm s}\), \(\displaystyle k=0{,}4~\frac{1}{\rm m}\).
Közli: Németh László, Fonyód
(4 pont)
A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A testre \(\displaystyle \mu mg=kmg\, x\) (változó) nagyságú súrlódási erő hat, így a mozgásegyenlete:
\(\displaystyle ma= -mgk\,x.\)
Ez az egyenlet megegyezik egy \(\displaystyle D=mgk\) rugóállandójú rugó végén harmonikus rezgőmozgást végző, \(\displaystyle m\) tömegű test mozgásegyenletével, így a megoldása (a kezdőfeltételek figyelembevételével)
\(\displaystyle x(t)=\frac{v_0}{\omega}\sin \omega t \qquad \text{és}\qquad v(t)=v_0\cos \omega t,\)
ahol \(\displaystyle \omega=\sqrt{ {D}/{m}}=\sqrt{gk}.\)
A test egy negyed ,,rezgés'' után, vagyis az indítástól számított
\(\displaystyle \frac{T}{4}=\frac{\pi}{2\omega}=\frac{\pi}{2\sqrt{gk}}\approx 0{,}8~\rm s \)
idő múlva áll meg, és az elmozdulása
\(\displaystyle x_\text{max}=\frac{v_0}{\omega}=\frac{v_0}{\sqrt{gk}}\approx 1~\rm m. \)
Statisztika:
62 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bíró Dániel, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Fajszi Bulcsú, Fazakas Réka, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Horváth Dávid, Illés Gergely, Klučka Vivien, Kürti Zoltán, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Osváth Botond, Pataki 245 Attila, Szakály Marcell, Szigeti Zsófia, Tófalusi Ádám, Zöllner András, Zsombó István. 3 pontot kapott: Bartók Imre, Csire Roland, Csuha Boglárka, Di Giovanni András, Édes Lili, Fehérkuti Anna, Hajdu 046 Ákos, Kolontári Péter, Kozák András, Krasznai Anna, Mamuzsics Gergő Bence, Morvai Orsolya, Nyerges Dóra, Páhoki Tamás, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Szentivánszki Soma , Tatai Mihály. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző.
A KöMaL 2017. márciusi fizika feladatai