KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem P. 4926. (March 2017)

P. 4926. An electron is released in vacuum from a point, which is equidistant from the three metal walls of a great corner, (orthogonal trihedron) at a distance of \(\displaystyle R=60\) cm from the vertex. How long does it take for the electron to fall into the vertex?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Az elektron olyan töltésmegosztást hoz létre a fémlemezekben, hogy mindegyik lemez ugyanakkora (nullának választható) potenciálú legyen. A kialakuló elektromos erőtér a lemezek által határolt (az ábrán látható, a fémlemezek síkjaihoz illesztett koordináta-rendszerben \(\displaystyle x>0, y>0, z>0\) módon megadott) térnyolcadban olyan lesz, mintha a másik 7 térnyolcadban az elektron pillanatnyi helyének ,,tükörkép-pontjaiban'' egy-egy – váltakozó előjelű – tükörtöltés lenne. Ezek a tükörtöltések az elektronnal együtt mozogva folyamatosan változó nagyságú erőt fejtenének ki az elektronra, ez határozza meg annak mozgását.

Megjegyzés. Ha az elektron valamelyik síktól \(\displaystyle r\) távol van, akkor a tükörtöltés által kifejtett vonzóerő

\(\displaystyle F(r)=k\frac{e^2}{(2r)^2}\)

nagyságú (\(\displaystyle e\) az elemi töltés). Ha például \(\displaystyle r<60\) cm, akkor \(\displaystyle F\) legalább 30-szor nagyobb, mint az elektronra ható \(\displaystyle mg\) gravitációs erő. Emiatt a feladat további részében a gravitációs erőt figyelmen kívül hagyjuk.

Az elektronra ható elektrosztatikus erők eredője a szimmetria miatt mindig a sarok felé mutat, így elegendő a 7 tükörtöltés által kifejtett erőnek ilyen irányú vetületét kiszámítani. Ha az elektron \(\displaystyle r\) távol van a sarokponttól, az eredő erő nagysága:

\(\displaystyle F(r)=k\frac{e^2}{r^2}\left(-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}-\frac{1}{4} \right)\approx -0{,}63k\frac{e^2}{r^2}. \)

Ugyanekkora erőt fejtene ki az elektronra egy \(\displaystyle Q=+0{,}63\,e\) töltésű, az origóban rögzített pontszerű test is.

Megjegyzés. A fenti erő képletét úgy is megkaphatjuk, hogy az erővektorok összegzése helyett kiszámítjuk a valódi töltés és a tükörtöltések közötti Coulomb-energiát, és ennek a térnyolcadra eső (1/8)-át egyenlővé tesszük a \(\displaystyle Q\) nagyságú ponttöltés \(\displaystyle -kQe/r\) Coulomb-energiájával.

A \(\displaystyle Q\) töltés erőterében az \(\displaystyle m\) tömegű elektron egyre növekvő gyorsulással zuhan az sarokpont felé. A mozgásegyenlet ugyanolyan alakú, mint a Nap körül keringő bolygók vagy egy (a Napot nagyon megközelítő, elnyújtott ellipszispályán mozgó) üstökös mozgásegyenlete, emiatt itt is alkalmazhatók Kepler törvényei. Az elektron pályája egy olyan ,,elfajult'' ellipszisként is felfogható, amelynek nagytengelye \(\displaystyle R\), kistengelye pedig közel nulla. Az origóba zuhanás keresett \(\displaystyle T\) ideje ezen ellipszispályához tartozó \(\displaystyle T_0\) keringési idő fele.

Másrészt (Kepler III. törvényéből) tudjuk, hogy egy \(\displaystyle R/2\) sugarú körpályán (vagyis \(\displaystyle R\) nagytengelyű ellipszisen) a \(\displaystyle Q\) ponttöltés körül keringő elektron periódusideje ugyanekkora:

\(\displaystyle m\frac{R}{2}\left( \frac{2\pi}{T_0} \right)^2=k\frac{Qe}{\left(\frac{R}{2} \right)^2},\)

ahonnan a keresett esési idő:

\(\displaystyle T=\frac{1}{2}T_0=\sqrt{\frac{mR^3\pi^2}{8\cdot 0{,}63\,k e^2}}\approx 4\cdot10^{-2}~\rm s.\)


Statistics:

18 students sent a solution.
6 points:Bekes Nándor, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Olosz Adél, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám.
5 points:Di Giovanni András, Krasznai Anna, Osváth Botond, Páhoki Tamás.
4 points:2 students.
3 points:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley