KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem P. 4928. (April 2017)

P. 4928. \(\displaystyle a)\) At what accelerations do the trolleys shown in the figure start to move if the wheels can roll easily, and the mass of the pulley and air drag are negligible? Data: \(\displaystyle m_1=1\) kg, \(\displaystyle m_2=2\) kg, \(\displaystyle M=5\) kg.

\(\displaystyle b)\) For other mass values, in what interval can the value of the initial acceleration of the trolley of mass \(\displaystyle M\) be?

(5 pont)

Deadline expired on 10 May 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Jelöljük a testekre ható erőket és a testek gyorsulását az ábrán látható módon! (Az \(\displaystyle m_2\) tömegű kiskocsi a \(\displaystyle M\) tömegű kocsikoz képest \(\displaystyle a\), a talajhoz képest tehát \(\displaystyle a-A\) gyorsulással mozog.)

A mozgásegyenletek:

\(\displaystyle m_1g-K=m_1a,\)

\(\displaystyle K-F=MA,\)

\(\displaystyle K=m_2(a-A),\)

\(\displaystyle F=m_1A.\)

Az egyenletrendszer megoldása:

\(\displaystyle A=\frac{m_1m_2}{m_1\left(m_1+m_2+M\right)+m_2\left(m_1+M\right) }\,g,\)

\(\displaystyle a=\frac{m_1\left(m_1+m_2+M\right) }{m_1\left(m_1+m_2+M\right)+m_2\left(m_1+M\right) }\,g.\)

\(\displaystyle a)\) A megadott tömegek esetén

\(\displaystyle A=\frac{1}{10}g=0{,}98~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 1{,}0 ~\frac{\rm m}{\rm s^2},\)

\(\displaystyle a=\frac{2}{5}g=3{,}92~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 4{,}0 ~\frac{\rm m}{\rm s^2},\)

\(\displaystyle a-A=\frac{3}{10}g=2{,}94~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 3{,}0 ~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

\(\displaystyle b)\) Az \(\displaystyle M\) tömegű kiskocsi gyorsulása így is felírható:

\(\displaystyle A=\frac{g}{2+\frac{m_1}{m_2}+\frac{M}{m_1}+\frac{M}{m_2}}.\)

Látható, hogy

\(\displaystyle 0<A<\frac{g}{2} .\)

Az \(\displaystyle A\approx \tfrac12 g\) felső korlát akkor közelíthető meg, ha \(\displaystyle M\ll m_1 \ll m_2\). Ebben a határesetben \(\displaystyle F\approx K\approx \frac{1}{2}m_2g\) és \(\displaystyle a\approx A\).


Statistics:

40 students sent a solution.
5 points:Bekes Nándor, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Magyar Róbert Attila, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pécsi 117 Ildikó, Póta Balázs, Sal Dávid, Varga-Umbrich Eszter.
4 points:Berke Martin, Illés Gergely.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
1 point:19 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley