KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

P. 4930. There is a uniform density right-triangular cross-section prism of mass \(\displaystyle M\) on the horizontal ground. The prism lies on its smallest face, and the surface of the ground is rough enough. The acute angle of the triangle at its vertex which is on the ground is \(\displaystyle \alpha=60^\circ\). A thread attached to the midpoint of the top edge of the prism, and a small object of mass \(\displaystyle m\) is fixed to the other end of the thread. The bob of the simple pendulum is released from the horizontal position as shown in the figure. The prism is observed to tip when the thread makes an angle of \(\displaystyle 20^\circ\) with the horizontal.

\(\displaystyle a)\) What is the mass ratio \(\displaystyle M/m\)?

\(\displaystyle b)\) To what value should this ratio \(\displaystyle M/m\) be increased in order that the moving pendulum should not be able to make the prism tip at all?

(5 points)

Deadline expired on 10 May 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Jelöljük a fonál hosszát \(\displaystyle \ell\)-lel, a háromszög átfogóját pedig \(\displaystyle L\)-lel. Amikor a fonál \(\displaystyle \varphi\) szöget zár be a vízszintessel, az inga nehezékének sebessége az energiamegmaradás

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=mg\ell\sin\varphi\)

tétele szerint

\(\displaystyle v= \sqrt{2g\ell\sin\varphi}.\)

A fonalat feszítő \(\displaystyle K\) erő a fonál irányú mozgásegyenletből számítható ki:

\(\displaystyle K-mg\sin\varphi=m\frac{v^2}{\ell},\qquad \text{ahonnan} \qquad K=3mg\sin\varphi.\)

Ez a fonálerő, amely

\(\displaystyle K_1=K\cos\varphi= 3mg\sin\varphi\cos\varphi\)

nagyságú vízszintes és

\(\displaystyle K_2=K\sin\varphi= 3mg\sin^2\varphi\)

nagyságú függőleges komponensre bontható, forgatónyomatékot fejt ki a hasáb alsó (bal oldali) oldaléle körül. Ugyancsak van forgatónyomatéka ezen él körül a hasábra ható \(\displaystyle Mg\) nagyságú nehézségi erőnek is. Az eredő forgatónyomaték:

\(\displaystyle f(\varphi)=K_1\cdot L\sin\alpha-K_2\cdot L\cos\alpha- Mg\cdot \frac{2L}{3}\cos\alpha=\)

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle =3mgL \left(\sin\varphi\cos\varphi\sin\alpha-\sin^2\varphi\cos\alpha -\frac{2M}{9m}\cos\alpha\right).\)

\(\displaystyle a)\) Kezdetben (az inga elindulásakor) a fenti forgatónyomaték negatív (az óramutató járásával megegyező irányú), majd fokozatosan csökken a nagysága és a megadott \(\displaystyle \varphi=20^\circ\)-nál nullává válik, majd előjelet vált. Ennél a fonálhelyzetnél billen meg a hasáb. A fenti zárójeles kifejezés eltűnéséből a kérdéses tömegarányra az

\(\displaystyle \frac{M}{m}=\frac{9}{2\cos 60^\circ}\left(\sin 20^\circ \cos 20^\circ \sin 60^\circ-\sin^2 20^\circ\cos60^\circ\right)\approx 2{,}0 \)

eredményt kapjuk.

\(\displaystyle b)\) A hasáb megbillenésének feltétele az (1) egyenlet zárójeles kifejezésének eltűnése:

\(\displaystyle \frac{2M}{9m}\cos\alpha=\sin\varphi\cos\varphi\cdot \sin\alpha-\sin^2\varphi\cdot \cos\alpha= \frac{\sin(2\varphi)}{2}\sin\alpha-\frac{1-\cos(2\varphi)}{2}\cos\alpha,\)

amit ilyen alakban is írhatunk:

\(\displaystyle (2) \)\(\displaystyle \cos(2\varphi-\alpha)=\left(\frac{4M}{9m}+1\right)\cos\alpha.\)

Ha

\(\displaystyle \frac Mm >\frac94\left(\frac{1}{\cos\alpha}-1\right)=2{,}25,\)

akkor (2) jobb oldala 1-nél nagyobb, az egyenlet nem teljesülhet, tehát a hasáb nem billenhet meg. Az \(\displaystyle M=2{,}25\,m\) határesetben a forgatónyomaték \(\displaystyle \varphi=\tfrac12\alpha=30^\circ\)-nál ugyan nullává válik, de nem vált előjelet, tehát a hasáb ilyen tömegarány esetén sem billen fel.


Statistics on problem P. 4930.
45 students sent a solution.
5 points:Bartók Imre, Bekes Nándor, Bukor Benedek, Csire Roland, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Guba Zoltán, Jakus Balázs István, Kavas Katalin, Klučka Vivien, Kozák András, Krasznai Anna, Magyar Róbert Attila, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Tóth Máté, Weisz Máté.
3 points:8 students.
2 points:6 students.


  • Problems in Physics of KöMaL, April 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley