A P. 4933. feladat (2017. április)

P. 4933. Rögzítetlen, \(\displaystyle Q_1=10^{-10}\) C és \(\displaystyle Q_2=-2\cdot 10^{-10}\) C töltésű, 4 mm sugarú, 1 g tömegű gömbök egymástól 1 m távolságra vannak. A gömböket magukra hagyjuk.

Mennyi idő múlva lesznek 25 cm távolságra egymástól?

Nagy László (1931–1987) feladata

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A gömbök mérete a közöttük lévő távolsághoz képest olyan kicsi, hogy a két test pontszerűnek tekinthető. Amikor \(\displaystyle x\) távolságra vannak a felezőpontjuktól (tömegközéppontjuktól), közöttük

\(\displaystyle F(x)=k\frac{Q_1Q_2}{(2x)^2}\)

erő hat, a gyorsulásuk tehát

\(\displaystyle a(x)=-\frac{K}{x^2},\qquad \text{ahol}\qquad K=k\frac{Q_1\,\vert Q_2\vert}{4m}=4{,}5\cdot 10^{-8}~\frac{\rm m^3}{\rm s^2}.\)

A töltött testek a Kepler-törvényeknek megfelelően mozognak, hiszen a mozgásegyenletük ugyanolyan, mint a bolygómozgásé. A gömbök pályája két olyan elfajult ellipszis, amelyek nagytengelye 0,5 m, kistengelye (határesetben) nulla. Mindkét test a fókuszponttól mért \(\displaystyle x_1=\tfrac12\) m távolságból indulva eljut \(\displaystyle x_2=\tfrac18\) m-nyire.

Ha a töltött gömb \(\displaystyle R=\tfrac14\) m sugarú körpályán mozogna a vonzócentrum körül, akkor a keringési ideje

\(\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{\frac{R^3}{K} }=61{,}7~\text{perc}\)

lenne. Kepler III. törvénye szerint ugyanennyi idő alatt futná be a töltött test a teljes (elfajult) ellipszispályát, hiszen annak nagytengelye ugyancsak 0,5 méter. De mivel az ellipszispályának csak az \(\displaystyle AB\) szakaszát futja be a test, ennek ideje (Kepler II. törvénye szerint) annyiszor kisebb \(\displaystyle T_0\)-nál, ahányszor kisebb területet súrol az ellipszis \(\displaystyle C\) fókuszpontjából húzott vezérsugár, mint az ellipszis teljes területe. Ha az ellipszist arányos nyújtással körré alakítjuk, a területek aránya nem változik. Az ábráról leolvasható, hogy a területarány (az \(\displaystyle OAD\) körcikk és az \(\displaystyle ODC\) szabályos háromszög területének összege, valamint a teljes kör területének hányadosa):

\(\displaystyle \frac{(\pi/3)+(\sqrt{3}/4)}{\pi}=0{,}471,\)

a keresett idő tehát

\(\displaystyle T=0{,}471\cdot T_0\approx 29~\text{perc}.\)

Ugyanezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogy felírjuk a mozgásegyenletből leolvasható energiatételt:

\(\displaystyle \frac12 v^2=K\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{0{,}5~\rm m}\right),\)

ahonnan (SI egységekben)

\(\displaystyle v(x)=\sqrt{\frac{2K(1-2x)}{x}}. \)

Ennek reciprokát integrálva (az integrálást pl. a www.wolframalpha.com program segítségével számolva) a mozgás időtartamára a

\(\displaystyle T=\int_{1/8}^{1/2} \frac{1}{v(x)}\,{\rm d}x=1744~{\rm s}\approx 29~\text{perc} \)

eredményt kapjuk.

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bekes Nándor, Csire Roland, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Nagy 555 Botond, Osváth Botond, Szentivánszki Soma .
4 pontot kapott:	Németh 777 Róbert, Tófalusi Ádám.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. áprilisi fizika feladatai