KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

P. 4935. The wavelengths of a photon and an electron are the same. Which of them has greater kinetic energy?

(5 points)

Deadline expired on 10 May 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Egy \(\displaystyle \lambda\) hullámhosszúságú foton impulzusa \(\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}\). Ugyanekkora az impulzusa egy elektronnak is, ha a de Broglie-hullámhossza \(\displaystyle \lambda\).

Az elektron energiája (a klasszikus fizika szerint)

\(\displaystyle E_{\rm e}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m}.\)

A foton energiája

\(\displaystyle E_{\rm f}=pc.\)

A két energia hányadosa:

\(\displaystyle \frac{E_{\rm e}}{ {E_{\rm f}}}=\frac{p}{2{mc}}= \frac{h}{mc}\,\frac{1}{2\lambda}.\)

Amennyiben \(\displaystyle \lambda \gg \frac{h}{mc}=2{,}4\cdot 10^{-12}\) m, akkor nyilván \(\displaystyle E_{\rm e}<E_{\rm f}\). A foton energiája tehát lehet nagyobb, mint az elektron mozgási menergiája. Látszólag a fordított eset is előfordulhat, de ez hibás következtetés!

Ha

\(\displaystyle \lambda \ll \frac{h}{mc},\)

akkor az elektron impulzusa \(\displaystyle p\gg mc\), vagyis \(\displaystyle p/m\gg c\). Ilyenkor nyilván érvényét veszti a klasszikus \(\displaystyle p=mv\) összefüggés, hiszen az \(\displaystyle c\)-nél sokkal nagyobb sebességhez vezetne.

Általános esetben az elektron mozgási energiáját az

\(\displaystyle E_{\rm e}=\sqrt{ m^2c^4+p^2c^2}-mc^2\)

relativisztikus képlet alapján számíthatjuk ki.

Ez kis sebességekre, vagyis \(\displaystyle p\ll mc\) esetre visszaadja a klasszikus képletet, a fenti összefüggés tehát a nemrelativisztikus tartományban is érvényes. A foton energiája természetesen csak relativisztikusan számolható: \(\displaystyle E_{\rm f}=pc\). Megmutatjuk, hogy azonos hullámhosszúságú elektron és foton esetében a foton energiája mindig nagyobb, mint az elektron mozgási energiája, vagyis

\(\displaystyle \sqrt{ m^2c^4+p^2c^2}-mc^2<pc.\)

Valóban, átrendezés és négyzetre emelés után

\(\displaystyle m^2c^4+p^2c^2 < \left(mc^2+pc\right)^2=m^2c^4+p^2c^2+2mpc^3,\)

azaz \(\displaystyle 0<2mpc^3,\) és ez nyilván teljesül.

Megjegyzés. A \(\displaystyle \frac{h}{mc}\) mennyiséget az elektron Compton-hullámhosszának nevezik. Ez az a térbeli távolság, aminél kisebb méretek (kvantumelméleti tárgyalásban ennél kisebb hullámhossz) esetén az elektron mozgása csak relativisztikusan írható le. Ha egy elektront a Compton-hullámhossznál kisebb méretekre próbálunk ,,összenyomni'', akkor az (a Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint) már elegendő energiával rendelkezne ahhoz, hogy elektron-pozitron párok képződjenek, tehát ebben a mérettartományban a részecskék száma már nem marad állandó.


Statistics on problem P. 4935.
44 students sent a solution.
5 points:Bartók Imre, Bekes Nándor, Csire Roland, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Illés Gergely, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Tófalusi Ádám.
4 points:Jakus Balázs István.
3 points:5 students.
2 points:12 students.
1 point:4 students.
0 point:2 students.


  • Problems in Physics of KöMaL, April 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley