Problem P. 4942. (May 2017)

P. 4942. A sphere of diameter 1 m is made of some good thermally insulating material, and a spherical electric stove of diameter 20 cm is put into it. The stove releases heat into all directions uniformly at a rate of 10 W. To what temperature will surface of the stove be heated if the the outer surface of the thermally insulating material is \(\displaystyle 20~{}^\circ\)C, and its thermal conductivity is \(\displaystyle 0.04~\rm W/(m\cdot K)\)?

(5 pont)

Deadline expired on June 12, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a kályha teljesítményét \(\displaystyle P\)-vel, a sugarát \(\displaystyle r_0\)-lal, a hőszigetelő gömb külső sugarát pedig \(\displaystyle R\)-rel. A kályha folyamatos hőleadásának következtében hosszabb idő után egyensúlyi hőmérsékleteloszlás alakul ki, amelyet a gömbszimmetrikus \(\displaystyle T(r)\) hőmérséklet és \(\displaystyle j(r)\) hőáramsűrűség (egységnyi idő alatt egységnyi felületen átáramló hő) jellemez.

Egyensúlyi állapotban a kályhát koncentrikusan körülvevő bármely \(\displaystyle r\) sugarú gömbfelületen ugyanannyi hő áramlik át időegységenként, vagyis

\(\displaystyle 4\pi r^2\,j(r)=P,\qquad \text{tehát} \qquad j(r)=\frac{P}{4\pi}\cdot \frac{1}{r^2}.\)

Másrészt tudjuk, hogy a hővezetési törvény szerint (melyet elsőként Jean Baptiste Joseph Fourier fogalmazott meg 1822-ben hosszú vékony rúdra) a hőáramsűrűség az egységnyi távolságra eső hőmérséklet-különbséggel arányos. A \(\displaystyle \lambda\) arányossági tényező az anyagra jellemző állandó, az ún. hővezetési együttható:

\(\displaystyle j(r)=-\lambda \frac{\Delta T}{\Delta r}.\)

(A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a hő a hőmérséklet-csökkenés irányába áramlik.)

A fenti két összefüggés birtokában ki tudjuk számítani, hogy mennyit változik a hőmérséklet a kályha felületétől a hőszigetelő anyag külső felületéig. A hőszigetelő gömböt képzeletben nagyon sok, vékony gömbhéjra osztva és a hőmérséklet-különbségeket összegezve kapjuk, hogy

\(\displaystyle T_\text{külső}-T_\text{belső}=\sum \Delta T=-\frac{P}{4\pi\lambda}\sum_{r=r_0}^{r=R}\frac{\Delta r}{r^2}. \)

Az itt szereplő összeg kiszámítására több lehetőség kínálkozik.

\(\displaystyle (i)\) Osszuk fel az \(\displaystyle r_0<r<R\) intervallumot \(\displaystyle n\gg1\) részre, és az osztáspontokat jelölje \(\displaystyle r_1,r_2,\ldots r_{n-1}\). Az összeg egyes tagjaiban a nevezőben szereplő \(\displaystyle r^2\)-et közelítsük a kicsiny intervallum szélső pontjaiban vett sugárértékek szorzatával. Ekkor

\(\displaystyle \sum_{r=r_0}^{r=R}\frac{\Delta r}{r^2}\approx \frac{r_1-r_0}{r_1 r_0}+ \frac{r_2-r_1}{r_2 r_1}+\frac{r_3-r_2}{r_3r_2}+ \ldots + \frac{r_{n-1}-r_{n-2}}{r_{n-1} r_{n-2}}+ \frac{R-r_{n-1}}{Rr_{n-1} }=\frac{1}{r_0}-\frac{1}{R}. \)

\(\displaystyle (ii)\) Kihasználhatunk egy elektrosztatikai analógiát. Ha egy \(\displaystyle Q\) nagyságú ponttöltés Coulomb-terében keressük az \(\displaystyle r=r_0\) és \(\displaystyle r=R\) sugarakkal megadott pontok közötti potenciálkülönbséget, azt kétféle módon is kiszámíthatjuk. Egyrészt

\(\displaystyle \Delta U=U(R)-U(r_0)=kQ\frac{1}{R}- kQ\frac{1}{r_0},\)

másrészt az \(\displaystyle E(r)=kQ/r^2\) térerősség segítségével:

\(\displaystyle \Delta U=-\sum_{r=r_0}^{r=R}E(r)\Delta r=-kQ\sum_{r=r_0}^{r=R}\frac{\Delta r}{r^2}.\)

A kétféle eredmény összehasonlításából leolvasható a

\(\displaystyle \sum_{r=r_0}^{r=R}\frac{\Delta r}{r^2}\approx \frac{1}{r_0}-\frac{1}{R}\)

összefüggés.

Visszatérve az eredeti problémára, a kályha hőmérsékletére

\(\displaystyle T_\text{belső}=T_\text{külső}+ \frac{P}{4\pi\lambda}\sum_{r=r_0}^{r=R}\frac{\Delta r}{r^2}= T_\text{külső}+ \frac{P}{4\pi\lambda}\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{R}\right)=20\,^\circ{\rm C} + \frac{10}{4\pi\,0{,}04}\left(\frac{1}{0{,}1}-\frac{1}{0{,}5}\right)\,^\circ{\rm C} \approx 180\,^\circ{\rm C} \)

eredmény adódik.

Statistics:

29 students sent a solution.
5 points:	Balaskó Dominik, Bartók Imre, Bekes Nándor, Csire Roland, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Jakus Balázs István, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Németh 123 Balázs, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Sal Dávid, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter.
4 points:	Molnár 957 Barnabás, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert.
3 points:	1 student.
2 points:	5 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2017