Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 4946. feladat (2017. május)

P. 4946. Egy \(\displaystyle m\) tömegű kiskocsi szabadon mozoghat egy szintén \(\displaystyle m\) tömegű doboz belsejében. A doboz vékony olajréteggel borított asztalon mozoghat, a súrlódási erő csak a doboz sebességétől függ: \(\displaystyle {\boldsymbol F=-k\boldsymbol v}\). Kezdetben a doboz áll, a kiskocsi a bal oldali faltól indulva \(\displaystyle v_0\) nagyságú sebességgel kezd mozogni jobbra. Hányszor fog rugalmasan ütközni az \(\displaystyle \ell\) hosszúságú kiskocsi az \(\displaystyle L\) hosszú dobozzal? (A rugalmas ütközést a kiskocsin lévő rugók biztosítják, ezek hossza sokkal kisebb, mint \(\displaystyle \ell\).)

A Kvant nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.


Megoldás. A kiskocsi jobb oldalon ütközik a dobozzal, ekkor ,,sebességet cserélnek''. A doboz lassulva mozog, megtesz \(\displaystyle L-\ell\) utat (ha közben meg nem áll), és a bal oldalánál ütközik a kiskocsival. Ekkor a doboz megáll, és a kiskocsi valamekkora \(\displaystyle v_1<v_0\) sebességgel elindul jobbra. Ez ismétlődik egészen a doboz megállásáig.

A doboz mozgása szempontjából érdektelenek azok az időtartamok, amikor a doboz áll és csak a kiskocsi mozog, ezeket tehát el is hagyhatjuk, és úgy tekinthetjük, mintha a doboz folyamatosan mozgott volna az

\(\displaystyle F= \frac{\Delta(mv)}{\Delta t}=-kv=-k\frac{\Delta x}{\Delta t} \)

mozgásegyenlet szerint. Ebből leolvasható, hogy \(\displaystyle \Delta(mv(t)+kx(t))=0,\) vagyis az \(\displaystyle mv(t)+kx(t)\) mennyiség időben állandó. Mivel kezdetben \(\displaystyle v=v_0\), látható, hogy a doboz összesen \(\displaystyle s=mv_0/k\) utat tesz meg a megállásáig. (Az ehhez szükséges idő ,,végtelen'' hosszú, mert a sebessége exponenciálisan csökken nullára.) Az ütközések száma

\(\displaystyle N=2\left[\frac{s}{L-\ell} \right] +1,\)

ahol \(\displaystyle [x]\) az egészrész-függvényt (\(\displaystyle x\)-nél nem nagyobb egész számot) jelöli.


Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bekes Nándor, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Kondákor Márk, Kozák András, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Osváth Botond, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Weisz Máté.
4 pontot kapott:Jakus Balázs István, Sal Dávid.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi fizika feladatai