Problem P. 4947. (May 2017)
P. 4947. In a particle accelerator stationary particles of mass \(\displaystyle M\) are hit by objects of different masses and different speeds. (The speed is comparable to the speed of light.) The collisions are straight, head on and totally elastic.
\(\displaystyle a)\) Determine the energy \(\displaystyle W\) given to an initially stationary particle as a function of the kinetic energy \(\displaystyle E_{\rm m}\) and the linear momentum \(\displaystyle I\) of the moving particle.
\(\displaystyle b)\) Sketch the \(\displaystyle W(E_{\rm m}, I)\) function at fixed \(\displaystyle I=I_0\) linear momentum and at fixed \(\displaystyle E_{\rm m}=E_0\) kinetic energy.
\(\displaystyle c)\) Investigate the non-relativistic and the ultra relativistic limiting cases.
(5 pont)
Deadline expired on June 12, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A relativisztikus energia- és impulzusmegmaradás törvényét alkalmazva az átadott energiára a
\(\displaystyle W(E_{\rm m}, I)=\frac{8MI^2E_{\rm m}^2}{ \left(\left[I+\frac{E_{\rm m}}{c}\right]^2+2ME_{\rm m}\right)\left(\left[I-\frac{E_{\rm m}}{c}\right]^2+2ME_{\rm m}\right)} \)
kifejezés adódik, ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség vákuumban. Mivel a ütköző részecske tömege
\(\displaystyle m=\frac{(Ic)^2-E_{\rm m}^2}{2E_{\rm m}c^2}\ge0,\)
a \(\displaystyle W(E_{\rm m}, I)\) függvény fizikailag értelmes értelmezési tartománya: \(\displaystyle 0<E_{\rm m}\le (Ic).\)
\(\displaystyle b)\) Az ábrák jellege hasonló a P. 4893. feladat megoldásánál közöltekkel.
\(\displaystyle c)\) Nemrelativisztikus (NR) határesetben, amikor mind a bejövő, mind a meglökött részecske sebessége \(\displaystyle c\)-nél sokkal kisebb,
\(\displaystyle W\approx W_{(NR)}=\frac{8MI^2E_{\rm m}^2}{\left( I^2+2ME_{\rm m}\right)^2}, \)
amint ezt a P. 4893. feladatban már megkaptuk.
Ultrarelativisztikus (UR) határesetben, amikor \(\displaystyle E_{\rm m} \approx Ic\), vagyis \(\displaystyle m\approx 0\), és ami ezzel együtt jár, a bejövő részecske sebessége \(\displaystyle v\approx c\), az átadott energia:
\(\displaystyle W\approx W_{(UR)}=\frac{E_{\rm m}^2}{E_{\rm m}+\frac{1}{2}Mc^2}.\)
A továbbiakban két esetet különböztethetünk meg:
\(\displaystyle (i)\) Ha \(\displaystyle E_{\rm m}\approx Ic\ll Mc^2,\) akkor a meglökött részecske (test) mozgása nemrelativisztikus, jóllehet egy ultrarelativisztikus (majdnem vagy pontosan fénysebességgel mozgó) részecske lökte meg. Ilyenkor az átadott energia:
\(\displaystyle W_{(UR-NR)}=\frac{2E_{\rm m}^2} { Mc^2}=\frac{2I^2}{M}.\)
Ez az eset valósul meg például akkor, amikor egy \(\displaystyle I\) impulzusú foton esik egy \(\displaystyle M\) tömegű ,,nehéz tükörre''. A foton visszaverődik, lendületváltozása jó közelítéssel \(\displaystyle 2I,\) a meglökött tükör impulzusa is \(\displaystyle 2I\), mozgási energiája pedig \(\displaystyle W=(2I)^2((2M)=2I^2/M\) lesz.
\(\displaystyle (ii)\) Ha \(\displaystyle E_{\rm m}\approx Ic\gg Mc^2,\) ilyenkor a meglökött részecske is fénysebességhez közeli sebességre gyorsul, az átadott energia
\(\displaystyle W\approx W_{(UR-UR)}=E_{\rm m},\)
vagyis a bejövő részecske mozgási energiája teljes egészében átadódik a meglökött részecskének.
A nemrelativisztikus ütközésekhez hasonlóan, ha teljesül, hogy
\(\displaystyle m=\frac{(Ic)^2-E_{\rm m}^2}{2E_{\rm m}c^2}=M,\)
akkor \(\displaystyle W=E_{\rm m},\) és ez nemcsak a határesetekben, hanem tetszőleges ,,közbenső'' energiáknál is fennáll.
Statistics:
3 students sent a solution. 5 points: Bekes Nándor. 1 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, May 2017