KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem P. 4948. (May 2017)

P. 4948. Two cylinder-shaped rods made of the same material and having the same cross section collide such that they move along their common symmetry axis. The lengths of the rods are \(\displaystyle \ell_1\) and \(\displaystyle \ell_2\), whilst their speeds are \(\displaystyle v_1\) and \(\displaystyle v_2\), and the collision is straight and head on. The rods are elastic and for the deformations and stresses that occur in them at any point and at any time Hooke's law holds true. What is the coefficient of restitution in this collision?

(6 pont)

Deadline expired on 12 June 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Az ütközési szám az ütköző testek relatív sebességének megváltozási arányszáma:

\(\displaystyle k=\frac{v_1^\text{(ütközés után)}-v_2^\text{(ütközés után)}}{v_1^\text{(ütközés elött)}-v_2^\text{(ütközés elött)}}.\)

Ezt a kifejezést nemcsak a tömegközépponti koordináta-rendszerben, hanem tetszőlegesen mozgó vonatkoztatási rendszerben kiszámíthatjuk, mert a sebességek különbsége nem függ a koordináta-rendszer választásától.

Üljünk bele abba a koordináta-rendszerbe, amelyik a két rúd átlagsebességével, \(\displaystyle (v_1+v_2)/2\)-vel mozog. Innen szemlélve a két rúd sebessége

\(\displaystyle v_1-\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{v_1-v_2}{2}=v^*, \qquad \text{illetve}\qquad v_2-\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{v_2-v_1}{2}=-v^*.\)

Irányítsuk a koordináta-rendszer pozitív tengelyét jobbra, és legyen a bal oldali rúd sebessége a nagyobb; ekkor \(\displaystyle v^*>0\), és a rudak ténylegesen összeütköznek. Tegyük fel, hogy a bal oldali rúd a rövidebb (\(\displaystyle \ell_1<\ell_2\)). (A fordított helyzet hasonló módon tárgyalható.)

Az egyenlő nagyságú sebességgel mozgó rudak egymáshoz csapódnak, és az érinkező felületük megáll. Ez – a szimmetria miatt – nyilvánvaló lenne akkor, ha a rudak hossza megegyezne. De a különböző hosszúságú rudaknál is ennek kell bekövetkeznie, hiszen az ütközési felület környéke csak akkor szerez tudomást arról, hogy mekkora a rudak hossza, amikor a \(\displaystyle c\) sebességgel terjedő sűrűsödési lökéshullám eléri a rudak túlsó végét, visszaverődik onnan, majd visszaérkezik az ütközési felülethez.

A rövidebb rúd válik el elsőként, az ütközés kezdete után \(\displaystyle 2\ell_1/c\) idő múlva az álló érintkezési felülettől, és elindul bal felé \(\displaystyle -v^*\) sebességgel. Ugyanekkor a másik rúd – amelyben még vannak összenyomódott részek, és az egyik darabja még áll, más részei pedig már mozognak – valamekkora \(\displaystyle u^*\) tömegközépponti sebességgel rendelkezik. Ez a sebesség a lendületmegmaradás törvénye segítségével határozható meg. Mivel a rudak keresztmetszete és sűrűsége is megegyezik, a tömegük a hosszukkal arányos. A lendületmegmaradás törvénye tehát így írható:

\(\displaystyle \ell_1 v^*-\ell_2 v^*=\ell_1(- v^*)+\ell_2 u^*.\)

Innen

\(\displaystyle u^*=\frac{2\ell_1-\ell_2}{\ell_2}v^*.\)

Az ütközési szám a relatív sebességek csökkenési arányszáma:

\(\displaystyle k=\frac{u^*-(-v^*)}{v^*-(-v^*)}=\frac{\left(\frac{2\ell_1}{\ell_1}-1\right)v^*+v^*}{2v^*}=\frac{\ell_1}{\ell_2} \le 1. \)

Megjegyzés. Szegedi Ervin légpárnás asztalon végzett mérései megerősítik a cikkben, illetve ebben a feladatban leírt közelítések jogosságát. Az ütközési együttható mért értékei jó közelítéssel a rudak hosszának arányával egyeztek meg, eltérést csak az \(\displaystyle \ell_1=\ell_2\) esetben tapasztalt. Ez az eltérés érthető, hiszen az egyforma hosszú rudaknál az ütközés (a modell szerint) tökéletesen rugalmas kellett volna legyen, ami a mechanikai energia nulla veszteségét jelenti. A valóságban természetesen vannak egyéb, a modelben figyelmen kívül hagyott veszteségek, amik a ,,nulla'' mellett biztosan nem hanyagolhatók el. Amikor például kér golyó ütközik, az érintkezési felületük nagyon kicsi, tehát az ütközés pillanataiban fellépő feszültségek nagyon nagyok lesznek. Ilyen körülmények között a deformáció és a feszültségek kapcsolata már nem lesz lineáris (nem marad érvényben a Hooke-törvény), és az energiadisszipáció (hőfejlődés) vélhetően már az ütközés kezdeti szakaszában is megjelenik.


Statistics:

11 students sent a solution.
6 points:Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám.
5 points:Páhoki Tamás.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley