KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2006. februári matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. március 16-én LEJÁRT.

A. 392. Egy tetraéder beírt gömbjének sugara r. Három olyan gömb létezik, ami a tetraéder lapsíkjait érinti úgy, hogy egyik érintési pont sincs a tetraéder felületén; ezek sugara r1, r2, illetve r3. Mutassuk meg, hogy

r1+r2+r3>9r.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 393. Igazoljuk, hogy ha n>1 egész szám, és 3n+4n osztható n-nel, akkor n osztható 7-tel.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 394. Bizonyítsuk be, hogy ha a1,a2,...,aN nemnegatív valós számok, és nem mindegyikük 0, akkor létezik olyan k pozitív egész szám, és léteznek olyan 1=n_0<n_1<\ldots<n_k=N+1 egészek, amelyekre


n_1a_{n_0}+n_2a_{n_1}+\ldots+n_ka_{n_{k-1}}<3(a_1+a_2+\dots+a_N).

A 2005. évi Kürschák-verseny 1. feladata nyomán

(5 pont)

Megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. március 16-én LEJÁRT.

B. 3882. Az ABC háromszög oldalaira kifelé megrajzoltuk a BAD és ACE szabályos háromszögeket. Igazoljuk, hogy a BE egyenesnek a CD egyenesre való tükörképe átmegy az A ponton.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3883. Igazoljuk, hogy ha az a, b egész számok különbsége osztható 100-zal, akkor a100-b100 osztható 10 000-rel.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3884. Három egységnyi sugarú kör mindegyike átmegy a P ponton, további metszéspontjaik pedig A, B és C. Mekkora az ABC háromszög köré írható kör sugara?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3885. Egy háromszög beírt körének sugara r, körülírt körének sugara R, egyik szöge pedig \alpha. Tegyük fel, hogy


r=4R\cos\alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2}.

Mutassuk meg, hogy a háromszög egyenlő szárú.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3886. Az ABCD húrnégyszög átlói merőlegesek egymásra. Milyen arányban osztja az átlók metszéspontjából az AB egyenesre állított merőleges a CD oldalt?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3887. Tíznél több egységnyi fakockából egy nagy, tömör kockát építettünk, majd a nagy kocka minden lapját befestettük. Ezután különválasztottuk a többitől azokat a kis kockákat, amelyeknek egyetlen lapja sincs befestve. Lehet-e ezen kockák száma többszöröse a többi kocka számának?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3888. Mely m>1 egészekre létezik az 1,2,\ldots,m számoknak olyan a_1,a_2,\allowbreak
\ldots,a_m sorrendje, hogy az a_1,a_1+a_2,\ldots,a_1+a_2+ \ldots+a_m összegek mind különböző maradékot adnak m-mel osztva?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3889. Egy bűvésztől láttam a következő mutatványt. Egy néző véletlenszerűen kiválasztott 5 lapot az 52 lapos francia kártyából, és átadta őket a bűvész segédjének. (A segéd a bűvész állandó partnere volt, így korábban már megállapodhattak.) A segéd megnézte az 5 lapot, és a bűvésznek egyesével átadott közülük 4-et. Ezután a bűvész -- anélkül, hogy bármi egyéb információt kapott volna -- megnevezte az ötödik lapot.

A mutatvány végeztével a bűvész az alábbi módon próbálta meggyőzni a matematika iránt érdeklődő nézőket:

,,A segítőm négy kártyát mutatott nekem, és ez a négy kártya tetszőlegesen kerülhet ki a pakliból. Információt tehát kizárólag a kártyák bemutatásának a sorrendjén keresztül közölhetett velem. Mint ismeretes, 4 kártyát 4!=24-féleképpen lehet sorbarendezni, az ötödik lap azonban 52-4=48-féle lehetett. Éppen 1 bit információ hiányzik tehát, ennek a pótlásához kell a csoda.''

Igaz-e, hogy a mutatványhoz valóban természetfölötti képességekre van szükség?

Javasolta: Gáspár Merse Előd, fizikus

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3890. Egy nemzetközi konferencián 200 tudós vesz részt. Mindegyikük legfeljebb 4 nyelven beszél, továbbá bármely három között van kettő, akik beszélnek közös nyelven. Bizonyítsuk be, hogy van olyan nyelv, amit közülük legalább 26-an beszélnek.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3891. Tegyük fel, hogy x és y racionális számok, amelyekre x5+y5=2x2y2. Bizonyítsuk be, hogy 1-xy egy racionális szám négyzete.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. március 16-én LEJÁRT.

C. 840. 10 darab bankjegy összértéke 5000 Ft. Milyen bankjegyekből állhat ez az összeg?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 841. Pali, a postás egy hosszú utcában először a páratlan oldalon oda-, majd a páros oldalon visszafelé kézbesítette a leveleket. Odafelé harmadannyi ideig állt a postaládák előtt, mint amennyit visszafelé haladt. Visszafelé negyedannyi ideig állt, mint amennyi ideig odafelé haladt. Végül kiderült, hogy ugyanannyi ideig tartott mindkét oldalon a kézbesítés. Hogyan aránylik egymáshoz az út (állás nélküli) haladási átlagsebessége oda és a vissza?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 842. Tíznél több egységnyi fakockából egy nagy, tömör kockát építettünk, majd a nagy kocka minden lapját befestettük. Ezután különválasztottuk a többitől azokat a kis kockákat, amelyeknek van befestett lapja. Lehet-e a festett kockák száma többszöröse a festetlen kockák számának?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 843. Az ABC háromszögben BAC\sphericalangle=45^{\circ}. Az AC oldal A-hoz közelebbi harmadolópontját jelölje P. Tudjuk, hogy ABP\sphericalangle=15^{\circ}. Mekkora az ACB\sphericalangle?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 844. Egy henger tengelymetszetének kerülete 90 cm. Legfeljebb mekkora lehet a henger térfogata?

(5 pont)

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. március 10-én LEJÁRT.

K. 73. Az 5 cm oldalhosszúságú ABCD négyzet CD oldalára kifelé megrajzoltuk a CDE szabályos háromszöget.

a) Határozzuk meg az ABE háromszög szögeinek nagyságát.

b) Mekkora a sugara annak a körnek, amelyre az ABE háromszög mindhárom csúcsa illeszkedik?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 74. Az ábrán kétféle festékesdoboz látható. Anna, Balázs, Csilla és Dalma úgy keverik ki a festéket a tojásfestéshez, hogy becsukott szemmel kétszer egymás után belemártják ecsetjüket valamelyik doboz valamelyik rekeszébe, és az így kapott keverékszínt viszik a tojásra. Anna mindkétszer az első, Balázs mindkétszer a második, Csilla először az első, majd a második, Dalma először a második, majd az első dobozba mártja ecsetjét. Melyikük kapja a legkisebb eséllyel a kék és piros keverékeként adódó lila színt?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 75. A K1, K2, K3 középpontú r sugarú körök mindegyikére illeszkedik a K pont. Két-két kör további közös pontja a P, Q, illetve R pontok. Mutassuk meg, hogy a K1K2K3 és a PQR háromszögek egybevágók.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 76. Elhelyeztünk 2006 darab, egymást sorban kívülről érintő kis kört egy nagy körben úgy, hogy a kis körök középpontja a nagy kör adott átmérőjére illeszkedik, a kis körök átmérőinek összege pedig a nagy kör átmérőjével egyenlő. Milyen nagyságrendi viszony állapítható meg a kis körök kerületének összege és a nagy kör kerülete között?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 77. A Kelekótya család vett egy falra szerelhető testmagasságmérő szalagot, melynek egyik végén ,,80 cm'', a másik végén ,,180 cm'' jelzés van, mintha a padlón álló 80 és 180 cm közti magasságú emberek lennének vele megmérhetők. A mérőt függőleges helyzetben rögzítették a falra, de az alja nem a megfelelő magasságba került. Utólag még az is kiderült, hogy bár a feltüntetett osztások egyforma távolságban követik egymást, a skála nem centiméterenkénti beosztással készült. Így a padlón állva a 130 cm magas Peti a 120-as jelig ért, míg 150 cm magas nővére a 145-ösig. Legfeljebb hány cm magas embert lehet megmérni ezzel a rosszul skálázott, rosszul felrakott mérőszalaggal?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 78. Ha egy téglatest összes éle mérőszámának összegéből levonjuk a felszínének mérőszámát, majd a kapott számhoz hozzáadjuk a téglatest térfogatának mérőszámát, 8-at kapunk. Bizonyítsuk be, hogy a téglatest egyik élének mérőszáma 2.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley