KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. május 18-én LEJÁRT.

A. 398. Adott a síkon egy k kör, a körön kívül fekvő \ell egyenes, továbbá a körön egy O pont.

Definiáljuk a k kör pontjain a + kétváltozós műveletet a következőképpen. A kör bármely X, Y pontpárjára jelöljük MXY-nal \ell és az XY egyenes metszéspontját. (Ha X=Y, akkor az XY egyenes az érintő. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor MXY az \ell ideális pontja.) Szerkesszük meg az OMXY egyenes és a kör másik metszéspontját. (Ha OMXY érinti a kört, akkor a másik metszéspont is O.) Ez a pont legyen X+Y.

Mutassuk meg, hogy a + művelet kiterjeszthető a k kör és az \ell egyenes összes, valamint \ell ideális pontjára úgy, hogy a pontok a + művelettel kommutatív csoportot alkossanak, amelynek egységeleme az O pont, azaz teljesüljenek a következő feltételek:

a) Tetszőleges X, Y, Z-re (X+Y)+Z=X+(Y+Z);

b) Tetszőleges X, Y esetén X+Y=Y+X;

c) Tetszőleges X-re X+O=X;

d) Tetszőleges X-hez létezik olyan Y, amelyre X+Y=O.

(5 pont)

Statisztika

A. 399. Egy S halmaznak adott n darab 3-elemű részhalmaza. Bizonyítsuk be, hogy n=6 esetén S elemeit ki lehet színezni két színnel úgy, hogy egyik kiválasztott részhalmaz se legyen egyszínű. Mi a helyzet n=7 esetén?

(5 pont)

Statisztika

A. 400. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges x, y, z, u pozitív valós számokra


\frac{x}{y+2z+3u}+ \frac{y}{z+2u+3x}+ \frac{z}{u+2x+3y} +\frac{u}{x+2y+3z} \ge \frac{2}{3}.

(5 pont)

Statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. május 18-én LEJÁRT.

B. 3902. Az ABC háromszög egy belső pontja P, kerülete 2s. Mutassuk meg, hogy

s<PA+PB+PC<2s.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3903. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:


x-\sqrt{\frac{x}{x+3}}=\frac{2}{x+3}.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3904. Az ABC egyenlőszárú háromszög BC alapjának D felezőpontjából az AC szárra bocsátott merőleges talppontja E, a DE szakasz felezőpontja F. Mutassuk meg, hogy a BE és az AF egyenesek merőlegesek egymásra.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3905. Hány megoldása van az y2=x2-x+1 egyenletnek a) az egész számok; b) a racionális számok körében?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3906. Az e és f kitérő egyenesek merőlegesek egymásra. Az egységnyi hosszúságú AB szakasz úgy mozog, hogy A mindig e-n, B pedig mindig f-en van. Határozzuk meg AB felezőpontjának mértani helyét.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3907. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

sin x+cos x+sin xcos x=1.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3908. Bizonyítsuk be, hogy 23n+1 minden n természetes számra osztható 3n+1-nel.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3909. Egy szabályos pénzérmét 12-szer feldobunk egymás után és leírjuk a dobások eredményét. Mi a valószínűsége annak, hogy nem követi egymást három fej?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3910. Adott az AB átmérőjű k kör. Vegyünk fel a kör belsejében egy E pontot. Az AE és a BE egyeneseknek a körrel alkotott másik metszéspontja C, illetve D. Bizonyítsuk be, hogy az AC.AE+BD.BE kifejezés értéke nem függ az E helyzetétől.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3911. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges hegyesszögű háromszögbe mindig írható olyan ellipszis, aminek egyik fókusza a háromszög magasságpontja, másik fókusza a körülírt körének középpontja.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. május 18-én LEJÁRT.

C. 850. Egy egység oldalú szabályos hatszöglemez tetszőleges belső pontját tükrözzük a hat oldal felezőpontjára. Számítsuk ki az így kapott hatszög területét.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 851. Egy szabályos pénzérmét 12-szer feldobunk egymás után és leírjuk a dobások eredményét. Hány olyan dobássorozat van, amelyben két fej nem követi egymást?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 852. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán:


x^2-3\sqrt{x^2+3}\le 1.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 853. A térben egy pontból kiinduló négy félegyenes páronként ugyanakkora, nullától különböző szöget zár be. Mekkora ez a szög?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 854. Igazoljuk, hogy minden pozitív egész n esetén fennáll a következő egyenlőség:


\frac{1^3+3^3+5^3+\ldots+ {(2n-1)}^3}{1+3+5+\ldots+(2n-1)}= 2n^2-1.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley