KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2006. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT.


C. 855. Szükségünk van egy 60o-os szögre, de nincs más eszközünk, csak egy téglalap alakú papírlapunk. Először félbehajtjuk a téglalapot, azért, hogy lássuk az egyik középvonalát. Ezután az egyik csúcsát ráhajtjuk a középvonalra, egy szomszédos csúcsra illeszkedő hajtásvonal mentén, ahogyan ezt az ábra mutatja. Igazoljuk, hogy az így kapott trapéz hegyesszöge 60o-os.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 856. Melyek azok az n természetes számok, amelyekre

5n+12n2+12n+3

osztható 100-zal?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 857. Melyek azok a (c;d) számpárok, amelyekre az x3-8x2+cx+d=0 egyenletnek három, nem feltétlenül különböző, pozitív egész gyöke van?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 858. Egy téglalap ugyanakkora kerületű és területű, mint egy olyan rombusz, amelynek egyik szöge 30o. Mekkora a téglalap oldalainak aránya?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 859. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben:


c^2+2ab\sin\, (\gamma+30^{\circ}) =b^2+2ac\sin\, (\beta+30^{\circ}) =a^2+2bc\sin\,
(\alpha+30^{\circ}).

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT.


B. 3912. Igazoljuk, hogy minden konvex négyszögnek van olyan csúcsa, amelynek a vele szomszédos két csúcs által meghatározott szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe nincs a négyszögön kívül.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3913. Tekintsük az alábbi két számhalmazt:


A=\left\{ \frac{3n-4}{5n-3}\colon n \in \mathbb{Z}\right\} \quad \mbox{\'es}\quad B=\left\{
\frac{4k-3}{7k-6}\colon k\in \mathbb{Z}\right\}.

Hány eleme van az A\capB halmaznak?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3914. Az ABCD paralelogramma AB oldalának tetszőleges pontja P, a CD oldalának tetszőleges pontja pedig Q. Legyen a DP és AQ egyenesek metszéspontja M, a CP és BQ egyenesek metszéspontja pedig N. Mutassuk meg, hogy az MN egyenes átmegy a paralelogramma középpontján.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3915. Az ABC háromszög minden oldalát p egyenlő részre osztottuk, ahol p prímszám. Ezután minden oldalról egy-egy osztópontot összekötöttünk a háromszög szemben lévő csúcsával úgy, hogy e három egyenes egy ponton megy át. Határozzuk meg p lehetséges értékeit.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3916. Bizonyítsuk be, hogy a pozitív x, y számokra teljesül az


\frac{x^2+xy+y^2}{3}\le \frac{x+y}{2}\cdot \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}

egyenlőtlenség.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3917. Igazoljuk, hogy egy \frac{1}{n} hosszúságú nyílt intervallum legfeljebb \left[\frac{n+1}{2}\right] darab olyan racionális számot tartalmazhat, amelynek nevezője legfeljebb n.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 3918. Keressük meg a


\cos 4x-\mathop{\rm tg} 5x=\mathop{\rm ctg} 5x-\sin 6x

egyenlet (-\pi;\pi) intervallumba eső megoldásait.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3919. Szerkesszünk a hegyesszögű ABC háromszög belsejében olyan P pontot, amelyre PA.BC=PB.CA=PC.AB.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3920. Oldjuk meg a 3x+4y=5z egyenletet a pozitív egész számok halmazán.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 3921. Négy darab egységnyi oldalú szabályos hatszögből és négy darab szabályos háromszögből mint lapokból egy konvex testet építettünk. Igazoljuk, hogy a test köré gömb írható, és határozzuk meg ennek a gömbnek a sugarát.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT.


A. 401. Az ABCD tetraéder beírt gömbje az ABC lapot a H pontban érinti. Az ABC laphoz hozzáírt gömb (ami érinti a lapot és a másik három lap meghosszabbítását) az O pontban érinti az ABC lapot. Mutassuk meg, hogy ha az ABC háromszögben O a körülírt kör középpontja, akkor H a magasságpont.

Lengyel versenyfeladat

(5 pont)

statisztika


A. 402. Két játékos a következő játékot játssza. A táblára felírják a 2 számot. A játékosok ezután felváltva lépnek: minden lépésben az aktuális számot 1-gyel növelik vagy megduplázzák. Az a játékos veszít, aki egy bizonyos, előre rögzített n számnál nagyobbat ír. Az n értékétől függően kinek van nyerő stratégiája?

Vojtech Jarnik Matematikaverseny, Ostrava, 2006

(5 pont)

statisztika


A. 403. Határozzuk meg mindazokat az n pozitív egészeket, amikre az a + b + c + d = n\sqrt{abcd} egyenletnek van megoldása a pozitív egészek körében.

Vietnami versenyfeladat

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley