KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. november 10-én LEJÁRT.


K. 133. Hány olyan ötjegyű szám van, melyben a számjegyek összege megegyezik a számjegyek négyzetének összegével?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 134. Egy pozitív egész számról tudjuk, hogy osztható 2-vel, 5-tel és 9-cel. Tudjuk még azt is, hogy ezeken a számokon kívül pontosan 9 további pozitív osztója van. Melyik ez a pozitív egész szám?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 135. Két pakli 32 lapos magyar kártyát külön-külön megkeverünk, majd az egyik pakli tetejére helyezzük a másik paklit. Ezután minden, a felső pakliban levő lapnak megkeressük a párját az alsó pakliban, és megszámoljuk, hogy közöttük hány kártyalap helyezkedik el. Az így kapott számokat összeadjuk. Mennyi lesz ez az összeg?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 136. Egy iskola a nyári szünetben minden tanulóját egyszer táboroztatta. Ezt két egyforma létszámú csoportban tudta megvalósítani. Az iskola fiútanulóinak 70%-át az első, a lánytanulóinak 80%-át a második csoportba osztották be. Az első táborozásban részt vevő gyerekek hány %-a volt fiú?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 137. Az A halmaz elemszáma több, mint a B halmaz elemszáma, de kevesebb, mint B elemszámának kétszerese. Tudjuk továbbá, hogy a B halmaznak 16-tal több részhalmaza van, mint a C halmaznak. Hány részhalmaza lehet az A halmaznak?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 138. Egy tetszőleges, 3-nál nagyobb prímszám négyzetéből kivonunk 1-et. Melyik az a legnagyobb pozitív egész szám, amely biztosan osztója lesz az eredménynek?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.


C. 910. Egy kör kerületére kilenc egész számot írunk, amelyek összege 90. Bizonyítsuk be, hogy van négy egymás melletti szám, amelyek összege legalább 40.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 911. Melyek azok az n pozitív egész számok, amelyek esetén n3+1 és n2-1 is osztható 101-gyel?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 912. Van-e olyan derékszögű háromszög, amelyben az oldalak a, b, c hossza egész szám, (a,b,c)=1 és az egyik súlyvonalának hossza 7,5?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 913. Az ABC háromszögbe írható kör középpontja O, a BC oldalhoz írható kör középpontja K. Mikor lesz a BKCO négyszög deltoid? Mikor lesz téglalap?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 914. Egy futballcsapat edzője szerint játékosai 95%-os biztonsággal rúgják be a tizenegyest. Mi a valószínűsége annak, hogy öt játékos közül pontosan három hibázik?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.


B. 4022. Van-e olyan számrendszer, amelyben a 9-cel való oszthatóság szabálya olyan, mint a tízes számrendszerben a 4-gyel való oszthatósági szabály; a 4-gyel való oszthatóság szabálya olyan, mint a tízes számrendszerben a 9-cel való oszthatósági szabály; a 7-tel való oszthatóság pedig pusztán az utolsó számjegy alapján eldönthető?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4023. Egy háromszög egyik oldalán adott egy pont. Szerkesszünk ezen át két olyan egyenest, amelyek a háromszög területét harmadolják.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4024. Az első 1000 pozitív egész szám közül legfeljebb hányat választhatunk ki úgy, hogy semelyik két kiválasztott szám összege ne legyen osztható a különbségükkel?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4025. Az ABC háromszög BC oldalára kifelé, CA oldalára pedig befelé emelt szabályos háromszög harmadik csúcsa A* és B*. A C pontnak az AB egyenesre való tükörképe C'. Bizonyítsuk be, hogy az A*, B* és C' pontok egy egyenesre illeszkednek.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4026. A d1 és d2 átmérőjű körök közös húrjának hossza h. Az egyik metszésponton át húzott két egyenes a köröket rendre a C1 és C2, illetve a D1 és D2 pontokban metszi az ábrán látható módon. Bizonyítsuk be, hogy a C1D1 egyenes pontosan akkor merőleges C2D2-re, ha


\frac{1}{h^2} = \frac{1}{d_1^2} + \frac{1}{d_2^2}.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4027. Oldjuk meg az


\frac{x^2 + 1}{x^2 + 11} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{11x - 6}{6-x}}

egyenletet.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4028. Két gömb sugara 5 és 3 egység, középpontjaik távolsága 4 egység. Számítsuk ki a két gömb közös részének térfogatát.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4029. Az r és s pozitív számok összege 1. Mutassuk meg, hogy

rr.ss+rs.sr\le1.

Javasolta: R. F. Stöckli (Buenos Aires)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4030. Adott a síkon az AB szakasz. Vegyünk fel egy tetszőleges C pontot a síkban úgy, hogy az ABC háromszög ne legyen egyenlő szárú. A C csúcshoz tartozó külső szögfelező az AB egyenest D-ben, az ADC körhöz A-ban húzott érintőt P-ben metszi. Határozzuk meg a lehetséges P pontok mértani helyét.

Osztrák versenyfeladat nyomán

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4031. Legyen n>1 egész szám. Bizonyítsuk be, hogy az


\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\ldots +\frac{x}{1!}+1=0

egyenletnek nincs racionális megoldása.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.


A. 434. Az A, B, C pontok ay MNPQRS konvex hatszög belsejében helyezkednek el úgy, hogy az ABC, NAM, PQB és CRS háromszögek hasonlók. Legyen X, Y és Z az NP, a QR, illetve az SM szakasz felezőpontja, és legyen G, K és I az ABC, ay MPR, illetve az NQS háromszög súlypontja. Bizonyítsuk be, hogy

(a) Ha az ABC háromszög szabályos, akkor a GKI háromszög is szabályos;

(b) Az ABC és XYZ háromszögek akkor és csak akkor hasonlók, ha az ABC háromszög szabályos.

Román versenyfeladat

(5 pont)

statisztika


A. 435. Igazoljuk, hogy tetszőleges 1\lea,b,c\le2 számokra


(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right) \ge
6\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right).

Vietnami feladat

(5 pont)

statisztika


A. 436. Bizonyítsuk be, hogy


\big| \big\{n\sqrt2\,\big\} - \big\{n\sqrt3\,\big\}\big| > \frac1{20n^3}

tetszőleges pozitív egész n esetén.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley