KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. december 10-én LEJÁRT.


K. 139. Tegyünk alapműveleti jeleket a számok közötti karikák helyére úgy, hogy a műveletsor eredménye 100 legyen. (Figyelem! Zárójelek nem használhatók a feladat megoldásához.)


1\ \circ \ 2\ \circ \ 3\ \circ \ 4\ \circ \ 5\ \circ \ 6\ \circ \ 7\ \circ \ 8\ \circ \ 9 =
100

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 140. Ha 73 tyúk 73 tucat tojást tojik 73 nap alatt, és 37 tyúk 37 nap alatt 37 kg búzát eszik meg, akkor hány kg búza kell egy tucat tojás előállításához?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 141. A társasjátékszakkörön idén is megkérdeztük a diákokat, hogy a négy játéktípus közül szerintük melyik a legjobb. Ennek alapján a ,,civilizáció építős'' játékok a tavalyi 12 szavazatos előnyüket elvesztették és 6 szavazatos hátránnyal a második helyre szorultak. A ,,vonatos'' játékok az összes szavazat 38%-ával állnak az élen. A ,,befolyásszerző'' játékok mindössze 14%-át birtokolják az összes szavazatnak, amivel a negyedik helyre szorultak, mivel a ,,kereskedős'' játékok 4 szavazattal többet szereztek. Melyik játéktípusra hányan szavaztak?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 142. A 2100-ban rendezendő matematikai olimpián, ahol az arany- és az ezüstérem tiszta nemesfémből készül majd (a bronzérem pedig bronzból), az ezüstérem átmérője 3 cm lesz, vastagsága 5 mm. (Az érmek alakja szokványos). Mekkora lesz az aranyérem, illetve a bronzérem átmérője, ha egyforma tömegűre és vastagságúra készítik mindhárom fajta érmet? (Sűrűségek: arany 19\;300~\rm kg/m^{3}, ezüst 10\;500~\rm kg/m^{3}, bronz 8930 kg/m3.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 143. Egy moziban 1500 Ft volt egy mozijegy, de ennyi pénzért kevesen vettek jegyet. Ezért a mozi vezetése úgy döntött, hogy csökkentik a jegyek árát. Emiatt 50%-kal nőtt a napi átlagos nézőszám, a napi átlagos bevétel pedig 25%-kal emelkedett. Hány Ft-ra csökkentették a jegy árát?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 144. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyek egyszeri felhasználásával hétjegyű számot készítünk. Határozzuk meg az összes ilyen hétjegyű szám összegét.

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.


C. 915. Melyek azok a prímszámok, amelyek felírhatók két pozitív összetett szám összegeként?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 916. Egy biztosítótársaság bevételei 2006-ban 25%-kal, kiadásai 15%-kal nőttek az előző évhez képest. A társaság nyeresége (\mbox{bev\'etel}-\mbox{kiad\'as}) 40%-kal nőtt. Hány százaléka volt 2006-ban a kiadások összege a bevételeknek?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 917. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

x+2y+3z+4v=a,

y+2z+3v+4x=b,

z+2v+3x+4y=c,

v+2x+3y+4z=d,

ahol a, b, c, d adott valós számok.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 918. Egy téglalap oldalainak felezőpontjait kössük össze a szemközti csúcsokkal. Az így kapott nyolc egyenes által meghatározott nyolcszög területe hányadrésze az eredeti téglalap területének?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 919. Egy derékszögű háromszöget átfogójának felező merőlegesével egy háromszögre és egy négyszögre vágtunk. A négyszög átlóinak aránya


\big(1+\sqrt3\,\big):2\sqrt2.

Mekkorák a derékszögű háromszög hegyesszögei?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.


B. 4032. Egy kör kerületére felírunk 2007 természetes számot. Lehetséges-e, hogy bármely két szomszédos szám közül a nagyobbat a kisebbel elosztva mindig prímszámot kapunk?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4033. Egy tánctanfolyamra csak házaspárok iratkoztak be. Valaki megfigyelte, hogy minden házaspár két tagjának magassága közötti különbség legfeljebb 10 cm. A tánctanár magasság szerint növekvő sorrendbe állítja külön a férfiakat és a nőket. A táncospárok ennek alapján jönnek létre: a legmagasabb nő a legmagasabb férfival táncol, és így tovább. Igazoljuk, hogy bármely táncospár tagjainak magassága között szintén legfeljebb 10 cm a különbség.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4034. Egy háromszög egyik oldalának felezőpontja F, egy másik oldalának harmadoló pontjai H1 és H2. A harmadik oldalt osszuk fel n egyenlő részre az N_1, N_2, \ldots, N_{n-1} pontokkal. Tekintsük az összes FHiNj háromszöget, ahol i=1,2, j=1,\ldots,n-1. Mutassuk meg, hogy ezen háromszögek közül bármelyiket kiválasztva, a megmaradtak között pontosan egy vele egyenlő területű van.

Javasolta: Káspári Tamás (Paks)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4035. Oldjuk meg a

2cos 5x+2cos 4x+2cos 3x+2cos 2x+2cos x+1=0

egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4036.k1 és k2 körök P-ben kívülről érintik egymást. Az egyik közös külső érintőjük e, melyen az érintési pontok rendre A és B. Az e-vel párhuzamos f egyenes C-ben érinti k1-et, D-ben és E-ben metszi k2-t. Bizonyítsuk be, hogy az ABC és ADE háromszögek körülírt körének közös húrja illeszkedik P-re.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4037. Jelölje f(n) az n pozitív egész szám tízes számrendszerben felírt alakjában a számjegyek összegét. Mennyi lehet f(3a), ha


f(a)=100 \quad\text{\'es}\quad f(124a)= 700?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4038. Az ABC háromszög belsejében felvett P pontnak a BC, CA és AB oldalak felezőpontjára vonatkozó tükörképe rendre A', B' és C'. Mutassuk meg, hogy az AA', BB', CC' egyenesek egy ponton mennek át.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4039. Andi és Bandi felváltva írnak 0 vagy 1 számjegyeket balról jobbra haladva. Andi kezd egy 1-es számjegy leírásával. A játék akkor ér véget, amikor már leírtak fejenként pontosan 2007 számjegyet. A kapott 0--1 sorozatot kettes számrendszerben felírt számként olvassák ki. Andi nyer, ha a kapott szám két négyzetszám összege, Bandi nyer, ha nem az. Kinek van nyerő stratégiája?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4040. Az a, b, c pozitív valós számokra ab+bc+ca=1. Igazoljuk, hogy


\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2}+\frac{1-c^2}{1+c^2}\le\frac{3}{2}.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4041. Egy háromszög súlyvonalainak hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív \alpha, \beta, \gamma számra

\alphaa+\betab+\gammac,    \gammaa+\alphab+\betac,    \betaa+\gammab+\alphac

hosszúságú oldalakkal háromszög szerkeszthető.

(4 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.


A. 437. Igazoljuk, hogy ha p>3 prímszám és


1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{p}=\frac{a}{b},

akkor ap-b osztható p4-nel.

(5 pont)

statisztika


A. 438. Az ABC szabályos háromszög körülírt körének AB ívén vegyük fel a P, a BC íven a Q és R, továbbá a CA íven az S és T pontokat úgy, hogy AP=BQ=CR=CS=AT teljesüljön. A BQ és PR egyenesek metszéspontja legyen U, az AS és PT metszéspontja V; végül az AU és BV egyenesek metszéspontját jelöljük W-vel. Igazoljuk, hogy az AU, BV és PW egyenesek páronként 60o-os szöget zárnak be.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 439. Igazoljuk, hogy tetszőleges 1>a_1>a_2>\ldots>a_n>0 valós számokra


\frac{a_1^2}{1-a_1} + \frac{a_2^2}{a_1-a_2} + \frac{a_3^2}{a_2-a_3} +
\ldots + \frac{a_n^2}{a_{n-1}-a_n} > \frac12(a_1+2a_2+3a_3+\ldots+na_n)-1.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley