KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2008. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. május 15-én LEJÁRT.

A. 452. Egy 2n csúcsú egyszerű gráfnak n2+1 éle van. Igazoljuk, hogy az élek legalább n háromszöget határoznak meg.

(5 pont)

Statisztika

A. 453. A gömbfelületen egymástól függetlenül véletlenszerűen kiválasztunk n pontot. Mi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pontok konvex burka tartalmazza a gömb középpontját?

(5 pont)

Statisztika

A. 454. Létezik-e olyan konstanstól különböző valós együtthatós p polinom, amelyre minden x valós szám esetén p2(x)-1=p(x2+1) teljesül?

(5 pont)

Statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. május 15-én LEJÁRT.

B. 4082. Az ábrán egy olyan síkidom látható, amellyel nem lehet egy egységsugarú félkört lefedni, de két egybevágó példányával már lefedhető egy egységsugarú kör. Létezik-e konvex síkidom is ugyanezzel a tulajdonsággal?

Kvant nyomán

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4083. Egy 10×10-es táblázat minden egyes mezőjébe egy-egy számjegyet írunk úgy, hogy minden egyes számjegy pontosan 10 mezőben szerepel. Meg tudjuk-e ezt úgy tenni, hogy minden sorban és oszlopban legfeljebb 4 különböző szám fordul elő?

Kvant

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4084. Melyek azok a pozitív egész számokból álló (an) sorozatok, amelyekre minden i\nej esetén (ai,aj)=(i,j) teljesül?

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4085. Igazoljuk, hogy ha egy szimmetrikus trapéz érintőnégyszög, akkor a magassága mértani közepe az alapoknak.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4086. A gömbfelületen egymástól függetlenül véletlenszerűen kiválasztunk négy pontot. Mi annak a valószínűsége, hogy az általuk meghatározott tetraéder tartalmazza a gömb középpontját?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4087. Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög oldalainak hossza 2, 3 és 4, akkor van olyan \alpha és \beta szöge, amelyekre

2\alpha+3\beta=180o.

Javasolta: Varga Zoltán (Siófok)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4088. Az AB1B2 hegyesszögű háromszög B1B2 oldalának belső pontja P. Jelöljük Q-val a P pontnak az A-ra vonatkozó tükörképét. Jelölje Di a P pontnak az ABi szakaszra eső merőleges vetületét, a DiBi szakasz felezőpontja Fi. Bizonyítsuk be, hogy ha QD1 merőleges PF1-re, akkor QD2 merőleges PF2-re.

Javasolta: Bodnár János (Budapest)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4089. Oldjuk meg az

x4-7x3+13x2-7x+1=0

egyenletet.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4090. Az ABC hegyesszögű háromszög A-ból induló f szögfelezője a BC oldalt D-ben, a köré írható kört E-ben metszi. A C-ből induló magasságvonal f-et M-ben, a köré írható kört Q-ban, a B-ből induló magasságvonal f-et N-ben, a köré írható kört P-ben metszi. Igazoljuk, hogy ekkor


\frac{BD}{DC} = \frac{PE \cdot AN \cdot ME}{QE \cdot CM \cdot NP}.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4091. Igazoljuk, hogy tetszőleges m, t pozitív egész számok esetén teljesül a következő azonosság:


\sum_{k=0}^m \binom mk \binom{t+k}{m}=\sum_{k=0}^m\binom mk\binom tk\cdot2^k.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. május 15-én LEJÁRT.

C. 940. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n esetén 24n-1 és 24n+1 közül valamelyik osztható 17-tel.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 941. Egy 10 m hosszú, téglalap alakú tanterem mennyezetén két olyan lámpát helyeztünk el, amelyek kúp alakú, 90o-os nyílásszögű fénynyalábot bocsátanak ki. Az egyik lámpa a mennyezet közepén található, és a padlón egy 6 m átmérőjű kört világít meg. A másik lámpa búráját elfordították úgy, hogy az általa megvilágított részen a terem hosszanti irányában elfér egy 10 m-es szakasz, de a két szemközti falra már nem esik fény. Milyen messze van a két lámpa egymástól?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 942. Egy d differenciájú számtani sorozatban a1=1 és an=81. Egy q hányadosú mértani sorozatban b1=1 és bn=81. Tudjuk még, hogy \frac qd=0{,}15. Adjuk meg az összes ilyen sorozatot.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 943. Egy körcikk területe 100. Mekkora a sugara, ha minimális a kerülete?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 944. Ricsi, Dénes és Attila gyakran szoktak pingpongozni egymással úgy, hogy az egyik oldalon ketten állnak. Dénes és Attila háromszor olyan gyakran nyer Ricsi ellen, mint ahányszor veszít; Dénes ugyanolyan gyakran nyer Ricsi és Attila ellen, mint ahányszor veszít; végül Attila kétszer olyan gyakran nyer Ricsi és Dénes ellen, mint ahányszor veszít. Legutóbb egy egész délutánt játékkal töltöttek, melynek során hat meccset játszottak, minden felállásban kettőt. Mekkora annak a valószínűsége, hogy Ricsi legalább egyszer győzött, akár egyedül, akár párban?

(5 pont)

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley