KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2008. decemberi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. január 15-én LEJÁRT.

A. 467. Az ABCD érintőtrapéz AD és BC oldalegyenesei az R pontban metszik egymást. A beírt kör középpontja I, a kör az AB oldalt a P, a CD oldalt a Q pontban érinti. A P-ben PR-re állított merőleges A1-ben, illetve B1-ben metszi az AI és BI szögfelező egyeneseket. Hasonlóképpen, a Q-ban QR-re állított merőleges C1-ben, illetve D1-ben metszi a CI és DI egyeneseket. Mutassuk meg, hogy A1D1=B1C1.

Javasolta: Bohner Géza, Budapest

(5 pont)

Statisztika

A. 468. Adott két háromszög. Az oldalaik a, b, c, illetve A, B, C; területük t, illetve T. Igazoljuk, hogy

-a2A2+a2B2+a2C2+b2A2-b2B2+b2C2+c2A2+c2B2-c2C2\ge16tT.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 469. Legyenek 0\lek\len és m\ge2 egészek. Tekintsük az \{1,2,\ldots,n\} halmaz k-elemű részhalmazait, és minden egyes ilyen részhalmazban az elemek összegének osztási maradékát m-mel osztva. Bizonyítsuk be, hogy ha az m-féle maradék mindegyike ugyanannyiszor, azaz pontosan \frac{\binom{n}{k}}{m}-szer fordul elő, akkor n\gem.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. január 15-én LEJÁRT.

B. 4132. Aranka és Bianka egy 2008×2008-as sakktáblán a következő játékot játsszák. Aranka gondolatban kiválasztja a tábla néhány mezőjét. Ezután minden mezőre ráírja, hogy az és a vele éllel vagy csúccsal érintkező mezők közül összesen hány szerepel a kiválasztottak között. Meg tudja-e határozni ennek alapján Bianka, hogy mely mezőket választotta ki Aranka? Mi a helyzet, ha 2009×2009-es táblán játszanak?

Javasolta: Nagy Dániel

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4133. Az ABCD téglalap BC és CD oldalán a P és Q pont úgy helyezkedik el, hogy az APQ háromszög szabályos. Bizonyítsuk be, hogy tAQD+tABP=tPCQ.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4134. Egy a_1<a_2<\ldots<a_k sorozatra jelölje t_3(a_1,\ldots,a_k) a sorozat elemeiből kiválasztható háromtagú számtani sorozatok számát. Bizonyítandó, hogy t_3(a_1,\ldots,a_k)\le
t_3(1,2,\ldots,k).

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4135. Az ABCD négyzet belsejében úgy helyezkedik el az M pont, hogy DCM\sphericalangle=
MAC\sphericalangle=25^{\circ}. Mekkora az ABM szög?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4136. Adott egy konvex négyszög. Szerkesszünk rombuszt, amelynek csúcsai a négyszög oldalaira esnek, oldalai pedig párhuzamosak a négyszög átlóival.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4137. Legyen n pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy


\sum_{0\le k<n/2} \binom{n}{2k+1} 13^k

osztható 2n-1-nel.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4138. Oldjuk meg a következő egyenletet:


\sqrt{2}\cdot (\sin x+\cos x)= \mathop{\rm tg} x+ \mathop{\rm ctg} x.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4139. Az ABC hegyesszögű háromszög két magasságvonala BE és CF. Az EF egyenes a körülírt kört P-ben és Q-ban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AP=AQ.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4140. Az ABCD húrnégyszög a körülírt körén a BC ív felezőpontja E, a DA ív felezőpontja F. Az ABC háromszög beírt körének középpontja legyen P, az ABD háromszögé Q. Mutassuk meg, hogy PQ párhuzamos EF-fel.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4141. Igazoljuk, hogy tetszőleges a, b, c valós számokra teljesül

(a2+2)(b2+2)(c2+2)\ge3(a+b+c)2.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. január 15-én LEJÁRT.

C. 965. Az ábrasorozat mintája fekete, fehér és szürke négyzetekből áll.

Hányadik ábrán lesz 2112 darab szürke négyzet?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 966. A magyar rendszámokban a számjegyek között lehetnek azonosak is. Valaki a megfigyelései alapján azt a kijelentést tette, hogy szerinte átlagosan 10 gépjárműből közel 3-nak ilyen a rendszáma. Igaz-e ez az állítás?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 967. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

3x2-xy=1,

9xy+y2=22.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 968. Az ABCD négyzetet az ábrán látható módon az oldalaival párhuzamos egyenesekkel az NPLD és KBMP négyzetekre és két egybevágó téglalapra osztottuk.

Legyen KL és MN metszéspontja P, BN és DK metszéspontja pedig Q. Mutassuk meg, hogy a C, P és Q pontok egy egyenesre illeszkednek.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 969. Egy körző szárait kétszer akkora szöggel kell kinyitnunk, ha 6,5 cm sugarú kört akarunk rajzolni, mint ha 3,3 cm sugarú kört rajzolunk. Milyen hosszú a körző szára?

(5 pont)

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. január 10-én LEJÁRT.

K. 187. Töltsük ki az ábra üres celláit úgy, hogy bármely három, egy csúcsban egymással érintkező kis hatszögben álló számok összege mindig ugyanannyi legyen.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 188. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapját a B csúcson túl meghosszabbítottuk a szár hosszával. Az így kapott pont lett a C1. Az AB alapra az A csúcsban merőlegest állítottunk, majd a C-t tartalmazó félsík irányába a merőleges egyenesre felmértük a szár hosszát. Az így kapott pont lett a C2. Azt tapasztaltuk, hogy a C1, C és C2 pontok egy egyenesre illeszkednek. Határozzuk meg az ABC háromszög szögeit.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 189. Egy gyakorló órán a matematikatanár ötféle feladatot tűzött ki, minden fajtából három darabot. Egy feladat jó megoldásáért 1 pontot kapnak a tanulók, ha nem oldottak meg ebből a fajtából többet. Ha két jó megoldásuk van egy fajtából, akkor ezekre feladatonként 4 pontot, ha mindhárom megvan egy fajtából, akkor ezekre feladatonként 9 pontot kapnak.

A feladatmegoldásban a tanulók csapatokban vettek részt. A végén minden csapatnak a többiekétől különböző pontszáma alakult ki, de minden csapat pontszáma 3-mal osztható lett. Legfeljebb hány csapat vehetett részt a feladatmegoldásban?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 190. Egy szavazáson a fiúk 55%-a, a lányok 5%-a szavazott igennel, így a többség igennel szavazott. Legalább hány fiú szavazott nemmel?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 191. Kétféle ablaktörlőt vizsgálunk, mindkettőnél a 31 cm-es törlőlapát a közepénél egy szintén 31 cm hosszú nyélre van rögzítve, amelyik egy tengely körül 90o-ot fordul törlés közben. Az első típusnál a rögzítés fix, így a törlő kezdetben 45o-ot zár be az ablak aljával, és törlés közben a lapát mindig a nyél irányába mutat. A másik típusnál a rögzítésnél csukló van, így a törlő végig merőleges az ablak aljára a törlés alatt. Melyik típusú ablaktörlő töröl le nagyobb területet?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 192. Anna, Bori és Cili egy hat darab igaz-hamis kérdésből álló tesztet töltött ki (mindannyian ugyanarra a hat kérdésre válaszoltak). Anna válaszai sorrendben: H, H, I, I, I, I; Bori válaszai sorrendben I, H, H, I, I, I, Cili válaszai sorrendben I, I, H, H, I, I. Annának csak két rossz, Borinak csak két jó válasza volt. Hány helyes válasza lehet Cilinek?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley