KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. február 16-én LEJÁRT.

A. 470. Jelöljük az ABC háromszögben A1-gyel, B1-gyel, illetve C1-gyel a magasságvonalak talppontjait. Legyen P a C1 pont merőleges vetülete az A1B1 egyenesen, és legyen Q az A1B1 egyenesen az a pont, amelyre AQ=BQ. Igazoljuk, hogy PAQ\sphericalangle
=PBQ\sphericalangle =PC_1C\sphericalangle.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 471. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyszerű gráfban minden csúcs legalább harmadfokú, akkor a gráf tartalmaz olyan kört, amelynek hossza nem osztható 3-mal.

Orosz versenyfeladat

(5 pont)

Statisztika

A. 472. Nevezzük egész együtthatós polinomok egy (p1(x),...,pk(x)) véges sorozatát euklideszinek, ha léteznek olyan q1(x),...,qk(x) egész együtthatós polinomok, amelyekre d(x)=q_1(x)p_1(x) +\ldots +q_k(x)p_k(x) közös osztója p1(x),...,pk(x)-nek, azaz léteznek olyan r1(x),...,rk(x) egész együtthatós polinomok, amelyekre pi(x)=ri(x)d(x) bármely 1\lei\lek esetén.

Bizonyítsuk be, hogy ha a p1(x),...,pn(x) egész együtthatós polinomok közül bármelyik kettő euklideszi párt alkot, akkor a \big(p_1(x),\ldots,p_n(x)\big) sorozat is euklideszi.

(5 pont)

Statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. február 16-én LEJÁRT.

B. 4142. ,,850 darabos'' téglalap alakú kirakós játékunk igazából 851 darabból áll. Minden egyes darab az ábrán látható 5 mintadarab valamelyikével egyezik meg. Hány (E) típusú darab van a játékban?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4143. Egy négyzet két szomszédos csúcsa egy egység sugarú körre illeszkedik. Mi a másik két csúcsnak a kör középpontjától való lehetséges legkisebb és legnagyobb távolsága?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4144. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenséget:

2(x4+x2y2+y4)\ge3xy(x2+y2).

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4145. Egy ABCD szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja legfeljebb kétszerese a rövidebbiknek. Vegyünk fel egy P pontot a trapéz belsejében. Igazoljuk, hogy létezik olyan négyszög, amelynek csúcsai a trapéz oldalaira esnek és oldalainak hosszúsága valamilyen sorrendben AP, BP, CP és DP.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4146. Mutassuk meg, hogy az 5x2+3y2=1 egyenletnek nincsen megoldása a racionális számok körében.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4147. Igazoljuk, hogy minden derékszögű háromszög kiegészíthető egy téglalappá az oldalaira emelt, egymáshoz hasonló derékszögű háromszögekkel.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4148. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

x3y+xy3=10,

x4+y4=17.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4149. Egy pontnak egy háromszög A, B, C csúcsain áthaladó magasságvonalaira eső merőleges vetülete legyen rendre A1, B1, C1. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög síkjában pontosan egy olyan pont létezik, amelyre az AA1, BB1, CC1 szakaszok egyenlőek, és ekkor e szakaszok hossza az ABC háromszögbe írt kör átmérője.

Kvant feladat alapján

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4150. Egy tízzel nem osztható, legalább 100-jegyű szám két különböző számjegyét felcseréltük egymással, az így kapott számnak pontosan ugyanazok a prímosztói, mint az eredeti számnak. Mutassunk példát ilyen számra.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4151. Legyen \alpha=\pi/14. Mennyi sin \alpha.sin 3\alpha.sin 5\alpha értéke?

(4 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. február 16-én LEJÁRT.

C. 970. Rózsa, Ibolya és Viola elhatározták, hogy a feladatgyűjteményükben lévő összes feladatot megoldják. Rózsa a, Ibolya b, míg Viola c feladatot dolgoz ki naponta. (Egy feladattal csak egyikük foglalkozik.) Ha Rózsa 11-szer, Ibolya 7-szer és Viola 9-szer több példát oldana meg naponta, akkor 5 nap alatt elkészülnének; míg ha Rózsa 4-szer, Ibolya 2-szer és Viola 3-szor annyi feladatot dolgozna ki, akkor pedig 16 nap lenne elég. Hány nap alatt készülnek el a megoldásokkal?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 971. Van-e olyan síkidom az egységnégyzeten kívül, amelynek a területe 1 és a kerülete 4?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 972. Egy lépcsőházban 10 postaláda van. Egy terjesztő 5 postaládába dob egy-egy szórólapot. Később egy másik terjesztő szintén 5 postaládába dob egy-egy szórólapot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy így legalább 8 postaládába kerül szórólap?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 973. Oldjuk meg az 1+cos 3x=2cos 2x egyenletet.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 974. Az ABCD húrtrapéz BD átlójára a D csúcson túl felmérjük a szárát, így kapjuk az L pontot. Az AC átlóra a C csúcsból felmérjük befelé a szárat, ekkor a K pontot kapjuk. Igazoljuk, hogy az AB és CD szakaszokból, illetve az AK és BL szakaszokból szerkesztett téglalapok területe egyenlő.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. február 10-én LEJÁRT.

K. 193. Négy lány és négy fiú elmentek együtt egy bálba. A keringőnél mind a négy fiú felkérte a négy lány valamelyikét táncolni (egy lányt csak egy fiú), majd a tangónál hölgyválasz volt, azaz a négy lány mindegyike kérte fel a négy fiú valamelyikét (egy fiút csak egy lány). A két tánc során nem táncolt együtt kétszer ugyanaz a pár. A következőket tudjuk a felkérésekről:

a) Csabi azzal a lánnyal keringőzött, aki Danival tangózott.

b) Andris azt a lányt kérte fel keringőzni, aki azzal a fiúval tangózott, akivel Enikő keringőzött.

c) Berci azzal a lánnyal keringőzött, aki Mari keringőpartnerével tangózott.

d) Gizi nem tangózott Bercivel.

e) Hédi egy olyan fiúval tangózott, aki nem keringőzött Gizivel.

A két tánc után a táncmester kérésére mindenki annak a háta mögé állt, akit felkért (annak a hátát nézte). Így a négy fiú és a négy lány éppen egy nagy körbe rendeződött el.

Ki kivel keringőzött, illetve tangózott?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 194. Egy számban a tizedesvesszőt egy helyiértékkel balra vittük, majd az így kapott számhoz hozzáadtuk az eredeti szám \frac{3}{5} részét. Így 1406,3-et kaptunk. Mi volt az eredeti szám?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 195. Az ABC háromszög A-nál derékszögű, egyenlő szárú háromszög, szárainak hossza 4 cm. Megrajzoltuk a C középpontú, A-n átmenő kört, ez az átfogót az E pontban metszi. Ugyancsak megrajzoltuk a B középpontú, A-n átmenő kört, ez az átfogót a D pontban metszi. Mekkora az ábrán levő satírozott terület nagysága?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 196. Egy deltoidban a 60o-os szöggel szemben 90o-os szög van, és a szimmetriaátlója 10 cm hosszú. Mekkora a deltoid kerülete?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 197. Oldjuk meg az

x.|3-|x+5||=x

egyenletet.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 198. Egy idegen bolygó lakóinak nem négy, hanem öt alapművelete van. Az összeadás, szorzás, kivonás és osztás művelete ugyanaz, mint nálunk, de van egy különleges műveletük is, amit @ műveleti jellel jelölnek. Nem tudjuk, hogy ez a művelet pontosan mit csinál, de ki tudtuk deríteni, hogy az alábbiak igazak rá nézve bármely x és y esetén:

(a) x \mathrel{@} 0 = x,

(b) x \mathrel{@} y = y \mathrel{@} x,

(c) (x+1) \mathrel{@} y = (x \mathrel{@} y) + y + 1.

Mennyi ezen a bolygón a 12 \mathrel{@} 5 értéke?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley