KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2009. februári matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. március 16-én LEJÁRT.

A. 473. Mutassuk meg, hogy az egyenlő területű gömbháromszögek átdarabolhatók egymásba, azaz bármelyik két, egyenlő területű gömbháromszöget feloszthatjuk véges sok gömbi sokszögre olymódon, hogy a két felbontás ugyanannyi darabból álljon, és ezekben a megfelelő darabok egybevágók legyenek egymással.

(5 pont)

Statisztika

A. 474. A Q pont a P_1P_2\ldots P_n konvex sokszög belsejében helyezkedik el. Igazoljuk, hogy


\sum_{k=1}^n \big(\mathop{\rm ctg} QP_{k-1}P_k\sphericalangle +
\mathop{\rm ctg} QP_{k+1}P_k\sphericalangle\big) \cdot \overrightarrow{QP_k} = 0.

(Az indexeket modulo n értjük, azaz P0=Pn és Pn+1=P1.)

(5 pont)

Statisztika

A. 475. Egy szabályos n-szög csúcsaihoz valós számokat rendeltünk úgy, hogy az n szám összege pozitív. Ha három egymás után következő szám x, y, illetve z, továbbá y<0, akkor ezeket kicserélhetjük rendre az x+y, -y, z+y számokra. Ezt a műveletet mindaddig ismételgetjük, amíg csak van a számok között legalább egy negatív.

Döntsük el, hogy vajon minden esetben befejeződik-e ez az eljárás véges sok lépésben.

(5 pont)

Statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. március 16-én LEJÁRT.

B. 4152. Adott az 1, 2, 3, \ldots, n számoknak n darab különböző részhalmaza. Bizonyítsuk be, hogy van olyan szám, amelyet minden halmazból elhagyva, a megmaradó halmazok továbbra is különbözőek.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4153. Az ABC háromszög körülírt körének középpontja O, magasságpontja M. Vegyük föl az E és F pontokat az AC és AB félegyeneseken A-tól AO, illetve AM távolságra. Bizonyítsuk be, hogy ekkor EF=AO.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4154. Egy klasszikus feladat: Egy kör alakú városfalon 12 őr teljesít szolgálatot. Délben mindegyikük elindul az őrhelyéről a falon valamelyik irányba olyan sebességgel, amellyel egy óra alatt kerülné meg a várost. Ha két őr szembetalálkozik, akkor sarkon fordulnak és változatlan sebességgel haladnak tovább az ellenkező irányba. Bizonyítsuk be, hogy pontban éjfélkor minden egyes őr a saját őrhelyén lesz.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4155. Oldjuk meg a következő egyenletet:

a2b2+b2c2+c2a2+a2+b2+c2+4(a+b+c)+12=6abc+4(ab+bc+ca).

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4156. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:


\mathop{\rm tg} x + \mathop{\rm ctg} x + 1 = \cos \left(x +\frac{\pi}{4}\right).

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4157. Oldjuk meg az alábbi egyenletet: [x]=x4-2x2.

Erdélyi versenyfeladat nyomán

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4158. Egy kocka ABCD lapján az AB szakasz felezőpontja F. Vágjuk el a kockát egy, a CF szakaszon áthaladó síkkal úgy, hogy a B, illetve a D csúcsot tartalmazó részek térfogatának aránya 1:2 legyen. Mekkora szöget zár be ekkor a metsző sík az ABCD lappal?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4159. Az ABC háromszögben a=2b. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott az A és B csúcsa és egy egyenes, amelyre a C csúcs illeszkedik.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4160. Van-e olyan korlátos ponthalmaz a síkon, amelynek végtelen sok szimmetriatengelye van, de nem középpontosan szimmetrikus?

Javasolta: Pósa Lajos

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4161. Tegyük föl, hogy a természetes számok halmazának véges sok pozitív elemét elhagyva egy olyan S halmazt kaptunk, amely zárt az összeadásra. Legyen az S egyik eleme k. Hány olyan eleme van S-nek, amiből k-t kivonva S-hez nem tartozó számot kapunk?

(3 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. március 16-én LEJÁRT.

C. 975. Az ABC háromszögben a C csúcsból húzott magasság az AB oldalt T-ben metszi. Az AC és a BC oldalakra kifelé olyan derékszögű CAD és CBE háromszögeket rajzolunk, amelyekben A-nál, illetve B-nél van a derékszög. Tudjuk továbbá, hogy AD=TB és BE=TA. Igazoljuk, hogy CDE\sphericalangle =CED\sphericalangle.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 976. Adjuk meg azt a legszűkebb intervallumot, ahová három pozitív szám összegének és a reciprokaik összegének szorzata eshet.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 977. Egy vállalkozó 12 millió Ft kedvezményes hitelt vett fel évi 8%-os fix kamattal. Mennyi lesz a tartozása 10 év múlva, ha évente 1,2 millió forintot tud törleszteni?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 978. Egy kávézóban három kétszemélyes asztalnál összesen hatan foglalnak helyet. Közülük hárman kávét, hárman teát isznak. Mekkora a valószínűsége annak, hogy van olyan asztal, ahol mind a ketten teát isznak?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 979. Piros alapon fehér pöttyös labdánkon harminc (gömbsüveg alakú) pötty található. A labda főkörének kerülete 54 cm, a pöttyök kerülete 11 cm. A labda felszínének hány százaléka pötty?

(5 pont)

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. március 10-én LEJÁRT.

K. 199. Dixi ötjegyű számokat rak sorba egy általa kitalált szabály szerint. Elsőként az utolsó számjegy szerint rakja csökkenő sorrendbe a számokat. Ha ez két szám esetén megegyezik, akkor az kerül előrébb, amelynek első számjegye kisebb. Ha ez is megegyezik, akkor a közbülső számjegyek szorzata szerinti csökkenő sorrendbe kerülnek a számok. (Dixi csak olyan számokat rak sorba, melyeknél ezek alapján egyértelműen eldönthető a sorrend.) Dixi egy papírra felírt hat számot a fent megfogalmazott szabályok szerint sorba rakva, azonban papírján elmosódott néhány számjegy (ezeket itt most betűkkel jelöltük), így ez olvasható rajta: 42348, A8318, 56B48, 8653C, 46585, D8655. A lehetőségeket végiggondolva tippelünk arra, hogy melyik volt a Dixi által sorbarakott hat szám (a tippünk minden számra egy-egy lehetséges értéket mond). Mennyi az esélye annak, hogy eltaláljuk Dixi összes számát?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 200. Egy teniszversenyen 64 résztvevő van, és mindenki játszik a többiekkel mérkőzéseket (egy mérkőzés csak egy játszmából áll). Aki összegyűjt három vereséget, az kiesik. A győztes az, aki a végén bennmarad egyedül. Minimum, illetve maximum hány mérkőzésre kerülhet sor ezen a versenyen?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 201. Hányféleképpen olvasható ki az ábrából a 2009, ha mindig csak élben szomszédos mezőkre léphetünk?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 202. Szorozzuk meg önmagával a 99 999 989 999 számot. Állapítsuk meg számológép nélkül, hogy az eredményben hány darab 9-es számjegy van.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 203. Egy függvényről azt tudjuk, hogy minden x\ne0 esetén


f\left(\frac{1}{x}\right)-3f(x)=x.

Határozzuk meg f(2) értékét.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 204. Az alábbi ábrát akarjuk elkészíteni. Mennyi lesz a satírozott terület és a nem satírozott terület aránya? (Az ábrát határoló görbék félkörök, az átmérőn látható pontok harmadolópontok.)

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley