KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.

A. 491. Az \(\displaystyle A_1A_2A_3\) háromszögben, minden egyes \(\displaystyle i=1,2,3\)-ra, az \(\displaystyle A_{i+1}A_{i+2}\) oldalhoz hozzáírt kör a \(\displaystyle P_i\), illetve \(\displaystyle Q_i\) pontban érinti az \(\displaystyle A_iA_{i+1}\), illetve \(\displaystyle A_iA_{i+2}\) félegyeneseket. (Az indexeket modulo 3 értjük, tehát például \(\displaystyle A_4=A_1\) és \(\displaystyle A_5=A_2\).) A \(\displaystyle P_iP_{i+1}\) és \(\displaystyle Q_iQ_{i+2}\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle R_i\), végül a \(\displaystyle P_{i+1}P_{i+2}\) és \(\displaystyle Q_{i+1}Q_{i+2}\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle S_i\) (\(\displaystyle i=1,2,3\)). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle R_1S_1\), \(\displaystyle R_2S_2\) és \(\displaystyle R_3S_3\) egyenesek egy pontban metszik egymást.

Bíró Bálint (Eger) ötletéből

(5 pont)

Statisztika

A. 492. Tetszőleges, pozitív egész számokból álló, nem üres \(\displaystyle H\) halmazra jelöljük \(\displaystyle \mathrm{lnko}(H)\)-val a \(\displaystyle H\) elemeinek legnagyobb közös osztóját. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle A\) pozitív egész számokból álló, véges, nem üres halmaz, akkor

\(\displaystyle \sum_{\emptyset\ne H\subseteq A} {(-2)}^{|H|-1} \mathrm{lnko}(H) > 0. \)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 493. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \sum_{i=1}^n\ \sum_{j=1}^n \frac{a_ia_j}{{(p_i+p_j)}^c}\ge 0 \)

teljesül tetszőleges valós \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\), és pozitív \(\displaystyle c,p_1,p_2,\ldots,p_n\) számok esetén.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.

B. 4212. Egy mozi nézőterén a felnőttek 80%-a férfi, a hímnemű nézők 40%-a gyerek, a gyerekeknek pedig 20%-a fiú.

Legalább hányan nézik a filmet?

Javasolta: Pataki János (Budapest)

(3 pont)

Statisztika

B. 4213. Legfeljebb hány oldalú lehet egy olyan konvex sokszög, amely feldarabolható olyan derékszögű háromszögekre, amelyek hegyesszögei 30 és 60 fokosak?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4214. Egy sakktáblán a gyalogokkal a következő szabály szerint játszunk: minden gyalog átugorhat bármelyik másik gyalogon úgy, hogy arra nézve szimmetrikusan érkezzen a táblára. El lehet-e juttatni ily módon kilenc gyalogot a bal oldalon látható helyzetből a jobb oldalon látható helyzetbe?

(Kvant)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4215. Adott a síkon az \(\displaystyle e\) egyenes és annak egyik oldalán az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok. Legyen \(\displaystyle M\) az egyenesnek az a pontja, amelyre az \(\displaystyle AM+MB\) összeg a legkisebb, \(\displaystyle N\) pedig az a pontja, melyre \(\displaystyle AN=BN\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\) pontok egy körön helyezkednek el.

(Kvant)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4216. Keressük meg az összes


\underbrace{aaa\dots a}_
{n\ db} \underbrace{bbb\dots b}_{n \ db}

alakú négyzetszámot.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4217. Jelölje egy hegyesszögű háromszög oldalait és (ívmértékben mért) szögeit a szokásos módon a, b, c, illetve \alpha, \beta\gamma. Mutassuk meg, hogy


\frac{\pi}{3}\le \frac{\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2}{a^2+b^2+c^2}<\frac{\pi}{2}.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4218. Mekkora lehet a legrövidebb kör hossza egy olyan gráfban, amelyben egyetlen csúcs sincs összekötve az összes többivel, bármely két éllel össze nem kötött csúcsnak van közös szomszédja, és ha a csúcsok számát \(\displaystyle n\)-nel jelöljük, akkor a fokszámok négyzetösszege \(\displaystyle n^2-n\)?

Javasolta: Montágh Balázs (Memphis)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4219. Legyenek \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\), \(\displaystyle h\) a tér különböző egyenesei, melyekre teljesül, hogy ha valamely \(\displaystyle e\) egyenesnek a térben az \(\displaystyle f\) és a \(\displaystyle g\) egyenessel is van közös pontja, akkor a \(\displaystyle h\) egyenessel is van. Mit mondhatunk az \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\), \(\displaystyle h\) egyenesek kölcsönös helyzetéről?

Javasolta: Mészáros Gábor (Kemence)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4220. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

 1-\frac{12}{3x+y} & =\frac{2}{\sqrt{x}},

 1+\frac{12}{3x+y} & =\frac{6}{\sqrt{y}}.

Litván versenyfeladat

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4221. Mutassuk meg, hogy ha az r sugarú körbe írt szabályos 18-szög oldala a, akkor a3+r3=3ar2.

(4 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.

C. 1005. A Baranya IC megelőz egy párhuzamos vágányon haladó tehervonatot, majd visszafele is elhaladnak egymás mellett. Az IC és a tehervonat sebességének aránya megegyezik az előzés idejének és az egymással szembeni elhaladásuk idejének arányával. Hányszorosa az IC sebessége a tehervonat sebességének, ha mindkét vonat sebessége változatlan?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1006. Bizonyítsuk be, hogy az \overline{ababab} alakú hatjegyű számoknak nem lehet kétjegyűnél nagyobb prímtényezője.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1007. Bizonyítsuk be, hogy a derékszögű háromszög beírt körének átmérője mértani közepe az átfogó és az egyik befogó különbségének, valamint az átfogó és a másik befogó különbsége kétszeresének.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1008. A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyeket véletlenszerűen sorba állítjuk. Mekkora annak a valószínűsége, hogy néggyel osztható, hétjegyű számot kapunk? (A szám nem kezdődhet nullával.)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1009. Az x2-6x+y2-2py+17=0 egyenletű körhöz az origóból két egymásra merőleges érintő húzható. Határozzuk meg p lehetséges értékeit.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.

K. 223. Egy bank a lekötött betétekre a kamatadó levonása után évi 6%-os kamatot ad. A kifizetett kamat nagyságát úgy állapítják meg, hogy kiszámítják az adott pénzösszeg egy napra jutó kamatát (az évet 365 nappal számolva), és ennek annyiszorosa lesz a kamat, ahány napig tartott a lekötés. A lekötés lejártakor a számlára visszavezetik a lekötött összeget, és jóváírják a kamatot. Azonban a bank küld egy-egy értesítést (postai levelet) a lekötés kezdetéről és a lekötés végéről is, melynek díja levelenként 75 Ft. Legalább mekkora összeget érdemes lekötni ebben a bankban 30 napra? (A bank lekötés nélkül 0%-os kamatot fizet.)

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 225. Peti a logikai játék készletéből kivett hat egyforma négyzetet, és az asztalon rakosgatja őket a következő szabály szerint: először letesz egy négyzetet, majd leteszi a következőt úgy, hogy legalább egy másik oldalával csatlakozzon a másik letett négyzet teljes oldalához, és így tovább. (A csatlakozásoknál mindig csúcsok csúcsokkal találkoznak.) Mutassuk meg, hogy a kapott alakzatok közül azoknak a kerülete, amelyek egy kocka felületének síkba kiterített hálózatát adják, mindig ugyanannyi.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 226. Kati 10-10 darab cédulára felírta az 1, 11, 121, 1331, 14 641 és 161 051 számokat, bedobta őket egy dobozba, és kihúzott közülük néhányat. A cédulákon látható számokat összeadva 1 111 111-et kapott. Hány cédulát húzott ki?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 227. András és Béla egy nagy szabályos háromszög alakú tér többszöri körbefutásával mindennap készül a mezei futóversenyre. Mindig egyszerre kezdik a futást, és egyenletes sebességgel haladnak. András a háromszög egyik csúcsából, Béla pedig egy másik csúcsából indul egymással szembe. András 4 perc alatt, Béla pedig 5 perc alatt futja le a két szomszédos csúcs közötti távolságot. Találkozhatnak-e futás közben a tér valamelyik csúcsában?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 228. Egy téglatest testátlójának hossza \sqrt{\overline{aaaa}}, ahol \overline{aaaa} egy négyjegyű szám. A három különböző él hossza három egymást követő páratlan szám. Mekkorák a téglatest élei?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley