Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

K. 224. Az asztalon hatoldalú és négyoldalú ,,dobókockák'' (kockák és tetraéderek) vannak. A hatoldalú dobókockák oldalain a pöttyözéses számozás 1--6-ig, a négyoldalúakén 1--4-ig tart. A ,,dobókockákon'' levő összes pötty száma 323. Ha annyi négyoldalú ,,dobókockánk'' lenne, mint amennyi hatoldalú van, és annyi hatoldalú lenne, mint amennyi négyoldalú van, akkor a ,,dobókockákon'' levő összes pöttyök száma 185 lenne. Hány négy- és hány hatoldalú ,,dobókockánk'' van?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 229. Egy adott AB szakaszt kellene szerkesztéssel harmadolni. A szakasz mindkét végéhez 30^o-os szöget szerkesztünk, a két új szár a C pontban metszi egymást. Ezután megszerkesztjük az AC és a BC szakaszok felezőmerőlegeseit. Mutassuk meg, hogy ezek az egyenesek az AB szakaszt három egyenlő részre osztják.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 230. A Számtalan utcában az utca két oldalán egyforma telkek sorakoznak. A páratlan oldal teljesen beépült, minden telekre egy házat építettek, de a páros oldalon egymás mellett van még néhány telek, amire nem épült még ház, viszont az első telekre mindjárt kettő is. A tulajdonosok elhatározták, hogy együtt fogják megvenni a házszámokat. Egy számjegy ára 50 Ft, és összesen 4250 Ft-ot költöttek a számjegyekre, a páratlan oldalon álló házakéra 550 Ft-tal többet, mint a másikra. A páratlan oldalon babonából nem az egyes, hanem a hármas számmal kezdődött a számozás, a páros oldal első telkén álló két ház pedig megkapta a 2-es és 4-es házszámot is. A páros oldal üres telkein álló majdani házaknak nem vettek számot, de a házak beszámozásánál figyelembe vették, hogy ott is fognak majd házak épülni, ezek sorszámait nem adták ki másoknak. Mennyi a páratlan oldalon a legnagyobb házszám, és hány házat lehet még építeni a páros oldalra?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 231. Az 1^.2, 2^.3, 3^.4, ..., n(n+1) szorzatok utolsó számjegyeit összeadva 2010 lett az összeg. Hány szorzat végződését adhattuk össze?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 232. Az ABCD paralelogramma BC oldalának felezőpontja E, CD oldalának felezőpontja F. A BD átlót az AE egyenes P-ben, az AF egyenes Q-ban metszi. Hogyan aránylik egymáshoz az APQ és az AEF háromszögek területe?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 233. Medve úr kedvenc mézescsupra egyenes körhenger alakú, az edény alapkörének átmérője 16 cm. Medve úr kedvenc kanala 23 cm hosszú, leggyakrabban ezzel eszi a mézet. Egyik nap Medve úr véletlenül beleejtette a kanalat a csuporba, és az teljesen elmerült a mézben. Legalább hány liter méz volt a csuporban? (A kanál térfogatát vegyük elhanyagolhatónak.)

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 234. Egy adott kerületű téglalap mindegyik oldalára kifelé négyzeteket rajzolunk. Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy az így kapott tizenkétszög területe minimális legyen?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

C. 1010. A Mikulás 53 szaloncukrot oszt szét három zacskóba ügyelve arra, hogy mindegyik zacskóban különböző számú szaloncukor legyen és bármely két zacskóban együtt több legyen, mint a harmadikban. Hányféleképpen teheti ezt meg?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1011. Bizonyítsuk be, hogy az a³-3ab²+2b³ kifejezés értéke nemnegatív, ha a és b nemnegatív valós számok.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1012. Egy négyzet mindegyik csúcsa köré olyan kört rajzolunk, amelyik átmegy a négyzet középpontján. Ezek a körök a négyzet oldalait összesen 8 pontban metszik. Bizonyítsuk be, hogy a metszéspontok egy szabályos nyolcszög csúcsai.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1013. Ábrázoljuk a sík azon pontjait, amelyek (x;y) koordinátáira teljesül az alábbi két összefüggés:

x²+y² $\le$ 2, $-1 \le \frac{x}{x+y}\le 1$ .

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1014. Az újévi koncertre jegyet vásárlók száma négyzetszám. Ha 100-zal többen vettek volna jegyet, akkor a nézők száma egy négyzetszámnál eggyel több lenne. Ha még 100-an vennének jegyet, akkor a nézők száma ismét négyzetszám lenne. Hányan vettek jegyet a koncertre?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

B. 4222. Egy 30 fős osztály diákjai közül a tanév során 16 alkalommal 8-8 diák ment kirándulni egy mikrobusszal. Mutassuk meg, hogy az osztályban van két olyan diák, akik legalább kétszer együtt kirándultak.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4223. Tekintsük az (1;36), (2;35), ..., (12;25) számpárokat. Kiválasztható-e a megadott számpárok mindegyikéből egy-egy szám úgy, hogy a kiválasztott számok összege egyenlő a nem kiválasztott számok összegével? Módosul-e a válasz, ha az utolsó két számpárt elhagyjuk?

Javasolta: Pataki János (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4224. Milyen egész szám lehet egy 2 oldalhosszúságú rombusz átlói hosszának az összege?

Javasolta: Nyul Gábor

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4225. Oldjuk meg az

$\frac{\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{y+z}} + \frac{\sqrt{y+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+z}} = 14 - 4\sqrt{x+z}- 4\sqrt{y+z},$

$\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y} +\sqrt{z+y} = 4$

egyenletrendszert.

Javasolta: Bíró Bálint

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4226. A H háromszög oldalaira a<b<c teljesül. Azon három rombusz közül, melyek egyik csúcsa egybeesik H egy csúcsával, többi csúcsa pedig illeszkedik H oldalaira, kettőnek megegyezik a területe. Mutassuk meg, hogy b²=ac.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4227. Igaz-e, hogy ha az a, b, c és d szakaszokból szerkeszthető négyszög, akkor szerkeszthető belőlük húrnégyszög is?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4228. A p_n sorozatot rekurzívan definiáljuk. Legyen p₁=2 és p_n+1 legyen p₁p₂...p_n+1 legnagyobb prímosztója. Szerepel-e a sorozatban a 11?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4229. Az ABCD parallelogrammában 2BD²=BA²+BC². Mutassuk meg, hogy a BCD háromszög köré írt kör átmegy az AC átló egyik harmadolópontján.

Javasolta: Koncz Levente (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4230. Egy szabályos négyoldalú gúla minden éle egységnyi hosszú. Határozzuk meg két kitérő élegyenes távolságát.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4231. Mutassuk meg, hogy az (x+y)ⁿ binomiális tétel szerinti kifejtésében a 3-mal nem osztható együtthatójú tagok száma nem osztható 5-tel.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

A. 494. Legyenek p₁,...,p_k prímszámok, és legyen S az egész számok azon részhalmaza, melynek elemei nem oszthatók p₁,...,p_k-tól különböző prímszámmal. Az egészek egy véges A részhalmaza esetén jelöljük $\mathcal{G}(A)$ -val azt a gráfot, melynek csúcsai az A elemei, élei pedig azon a,b $\in$ A párok, melyekre a-b $\in$ S. Létezik-e minden m $\ge$ 3-ra egészeknek olyan m elemű A részhalmaza, melyre

(a) $\mathcal{G}(A)$ teljes?

(b) $\mathcal{G}(A)$ összefüggő, de minden csúcsának a fokszáma legfeljebb 2?

Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny (2009)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 495. Az ABC hegyesszögű háromszögben BAC $\angle$ = $\alpha$ . A D pont a háromszög belsejében, a BAC szög felezőjén, a E pont az AB oldalon, az F pont pedig a BC oldalon helyezkedik el úgy, hogy BDC $\angle$ =2 $\alpha$ , $AED\angle= 90^\circ+\frac{\alpha}{2}$ , és BEF $\angle$ =EBD $\angle$ . Határozzuk meg a BF:FC arányt.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 496. Legyenek a₁,a₂,...,a_2k páronként különböző egész számok, és legyen M legfeljebb k elemű, egész számokból álló halmaz, ami nem tartalmazza sem a 0, sem az s=a₁+a₂+...+a_2k számot. Egy szöcske a valós számegyenesen ugrál a 0 pontból kiindulva úgy, hogy 2k ugrást hajt végre, melyek nagysága a₁,a₂,...,a_2k valamilyen sorrendben. Ha a_i>0, akkor a megfelelő lépésben a szöcske jobb kéz felé, ha pedig a_i<0, akkor bal kéz felé ugrik |a_i| távolságra. Bizonyítsuk be, hogy a szöcske meg tudja választani az ugrások sorrendjét úgy, hogy ne ugorjon az M halmaz egyik elemére se.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)