KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2010. februári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.


K. 241. Az A és B falu közti utat három részre osztották. Ha az első rész 1,5-szer akkora, a második rész pedig 2/3 akkora volna, mint most, akkor pont három egyforma útszakaszunk lenne. Hányadrésze az útnak a harmadik útszakasz?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 242. Egy százpontos dolgozat pontszámait számítógépen szeretnénk rögzíteni. Egy adat beírása után a gép mindig kiírja az eddigi beírt pontszámok átlagát. A begépelésnél megfigyeltük, hogy az első öt ember pontszáma úgy alakult, hogy minden beírás után 3 ponttal nőtt az átlag. (Az első beírásra ez még nem érvényes, mert előtte nem volt átlag.) Mennyivel volt több pontja az ötödik embernek, mint az elsőnek?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 243. Nagymama csak túrós és lekváros derelyéket készít. Egyik alkalommal a derelyék 40%-a lekváros volt. Nagymama egy másik alkalommal ehhez képest 10%-kal több lekváros, és 5%-kal kevesebb túrós derelyét készített. Hány százalékkal változott az összes derelyék száma?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 244. Mennyi 11!+13! legnagyobb prímosztója? (A 11!, illetve a 13! jelöli 1-től 11-ig, illetve 13-ig az egész számok szorzatát.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 245. Oldjuk meg a következő egyenleteket, ha x és y pozitív prímszámokat jelölnek.

a) xy(x+y)=2010,

b) xy(x+y)=2009.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 246. Négy különböző pozitív számjegy felhasználásával elkészítettük az összes olyan négyjegyű számot, amelyben a számjegyek különbözők. Ezeknek a négyjegyű számoknak 186648 az összegük. Melyek lehettek a kiinduló számjegyek?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.


C. 1020. Bergengóciában egy kis létszámú parlamenti frakció tagjai négy bizottság munkájában vesznek részt. A frakció minden tagja két bizottságban dolgozik, és bármely két bizottságnak egy közös tagja van a frakcióból. Hány tagú a frakció?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1021. Az ABC háromszög AC oldalán felveszünk egy P, a BC oldalán pedig egy Q pontot. A P ponton át BC-vel húzott párhuzamos az AB-t K-ban, a Q ponton át AC-vel húzott párhuzamos az AB-t L-ben metszi. Igazoljuk, hogy ha PQ párhuzamos AB-vel, akkor AK=BL.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1022. Egy rombusz formájú csuklós edényalátét oldalai 20 cm-esek, és hosszabbik átlója 32 cm-es. A hosszú átló mentén kissé összenyomjuk a szerkezetet, mire a másik átló hosszabb lesz, mégpedig az összenyomás hosszának 1,2-szeresével. Mekkorák lettek az átlók?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1023. Hat kártyalapot, melyeket 1-től 6-ig megszámoztunk, összekeverünk, majd egymás után három lapot húzunk. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lapokon lévő számok sorozata monoton növekedő?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1024. Melyik az a legfeljebb negyedfokú \(\displaystyle p(x)\) polinom, melynek az \(\displaystyle x_1=-3\) és \(\displaystyle x_2=5\) zérushelye, és egyben minimumhelye is? Tudjuk még, hogy a \(\displaystyle q(x)= p(x+1)\) polinom páros és lokális maximumának értéke 256.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.


B. 4242. Létezik-e olyan n, amelyre a 4×n-es sakktábla bejárható egy huszárral úgy, hogy minden mezőre pontosan egyszer lépünk, majd az utolsó lépéssel visszaérkezünk a kiindulási helyre? Mi a helyzet abban az esetben, ha nem kell visszatérni a kiindulási helyre?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4243. Mutassuk meg, hogy 6564+64 összetett szám.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4244. Szerkesszük meg a derékszögű háromszöget, ha adott az átfogója és az egyik befogójához tartozó hozzáírt körének sugara.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4245. Mutassuk meg, hogy ha a \mathcal{K} konvex sokszög nem paralelogramma, akkor kiválasztható három oldalegyenese úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög tartalmazza \mathcal{K}-t.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4246. Az \(\displaystyle x^3 - (a+2)x^2 + (2a+1)x - a = 0\) egyenlet \(\displaystyle x_1\), \(\displaystyle x_2\), \(\displaystyle x_3\) gyökeire

\(\displaystyle \frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} = \frac{3}{x_3} \)

teljesül. Oldjuk meg az egyenletet.

(Tanárképző főiskolák matematika versenye, 1975/2)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4247. Egy kocka két lapja ABCD és ABEF. Jelölje M, illetve N az AC, illetve FB lapátló egy-egy olyan pontját, amelyekre AM=FN. Mi az MN szakasz felezőpontjának mértani helye?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4248. Legyenek az ABC háromszög hozzáírt köreinek középpontjai Oa, Ob, Oc, beírt körének középpontja I, köré írt körének sugara R. Legyen továbbá az Ob pontból az AB egyenesre és az Oc pontból az AC egyenesre állított merőlegesek metszéspontja A1. Mutassuk meg, hogy A1I=2R.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4249. Valaki gondolt n darab nem feltétlenül különböző nemnegatív egész számra, és egy lapra felírta a belőlük képezhető összes (2n-1 darab) összeget. Meghatározhatók-e ebből az eredeti számok?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4250. Legyen a derékszögű koordinátarendszerben az ABCDEF szabályos hatszög középpontja az O origó, A csúcsa pedig a (0;1) pont. Jelölje \mathcal{H}_1 az ACE, \mathcal{H}_2 pedig a BDF szabályos háromszöglemezt. Határozzuk meg azon P pontok halmazát, amelyekre az \overrightarrow{OP} vektor előállítható \overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2} alakban, ahol P_1\in \mathcal{H}_1 és P_2\in \mathcal{H}_2.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4251. Legyen \(\displaystyle p>3\) prímszám. Határozzuk meg a

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{p} \binom{i\cdot p}{p}\cdot\binom{(p-i+1)p}{p} \)

szám utolsó két számjegyét a \(\displaystyle p\) alapú számrendszerben.

Mészáros Gábor (Kemence) javaslata nyomán

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.


A. 500. Adottak a térben az {\cal E}_1, {\cal E}_2 és {\cal E}_3 forgási ellipszoidfelületek, amelyeket egy-egy ellipszisnek a nagytengelye körüli körbeforgatásával kaphatunk, és egy {\cal S} sík. A három ellipszoid egyik fókusza közös. Tegyük fel, hogy minden egyes i=1,2,3-ra az {\cal E}_{i+1} és {\cal E}_{i+2} felületeknek pontosan két közös pontja van az {\cal S} síkkal, és jelöljük \elli-vel a két közös pontot összekötő egyenest.

Mutassuk meg, hogy az \ell1, \ell2 és \ell3 egyenesek egy ponton mennek át vagy párhuzamosak.

Kornis Kristóf (Budapest) ötletéből

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 501. Legyen p>3 prímszám. Határozzuk meg a


\sum_{i=1}^{p} \binom{i\cdot p}{p}\cdot\binom{(p-i+1)p}{p}

szám utolsó három számjegyét a p alapú számrendszerben.

Mészáros Gábor (Kemence) javaslata nyomán

(5 pont)

statisztika


A. 502. Igazoljuk, hogy tetszőleges w1,w2,...,wn komplex számokhoz létezik olyan k\le2n+1 pozitív egész, amire


\mathop{\rm Re} \big(w_1^k+w_2^k+\dots+w_n^{k}\big) \ge 0.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley