A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT. |
K. 247. Csipkerózsika életének első három évében átlagosan napi 14 órát aludt, utána 16 éves koráig napi 8 órát, majd a 16. születésnapjától, mikor az orsó megszúrta az ujját, 100 évig napi 24 órát. Egy mogyorós pele 5 hónapig (november 1-jétől március 31-ig) téli álmot alszik, az év többi részében pedig átlagosan napi 8 órát tölt ébren (éjjelente). Hány évi alvás után kellett volna felébresztenie a királyfinak Csipkerózsikát ahhoz, hogy a születésétől az ébredésig számított napi alvásátlaga megegyezzen egy mogyorós pele napi alvásátlagával? (Az egyszerűség kedvéért a számolás során hagyjuk figyelmen kívül a szökőéveket, azaz a februárt mindig 28 naposnak vegyük.)
(6 pont)
K. 248. Az ábrán egy kocka hálóját látjuk. Fessünk be a kockaháló hat négyzete közül kettőt pirosra, a másik négy közül pedig egyet-egyet fehérre, zöldre, sárgára és kékre úgy, hogy a majd ebből elkészített kockának ne legyen két szomszédos oldala azonos színű.
Hányféleképpen színezhetjük az ábrát eme feltételeknek megfelelően?
(6 pont)
K. 249. Egy nagy perselybe 5, 10, 20, 50, 100 és 200 forintos érméket dobálunk. Most éppen 18 200 Ft van benne. Az utolsó érme bedobása előtt a perselyben lévő különböző értékű érmék száma fordítottan arányos volt az érmék értékével. Hány darab 200 forintos van most a perselyben?
(6 pont)
K. 250. Egy szabadtéri koncert résztvevőinek számát ketten is megtippelték. Az egyik vélemény szerint 2700, a másik vélemény szerint 3600 ember lehetett jelen. Kiderült, hogy az egyik tippelő a valósághoz képest kétszer annyi százalékkal tévedett, mint a másik, de az egyik lefelé, a másik pedig felfelé. Hányan lehettek a koncerten?
(6 pont)
K. 251. Egy oldalhosszúságú négyzet két átlóját hosszabbítsuk meg az egyik irányban annyival, amekkora a négyzet oldala.
a) Milyen hosszú a meghosszabbítások két új végpontja közötti szakasz?
b) Igazoljuk, hogy van a négyzetnek olyan csúcsa, amely a meghosszabbítások két új végpontjával egyenlő szárú háromszöget határoz meg.
(6 pont)
K. 252. Hat egymást követő egész szám összegét megszorozzuk a következő hat egész szám összegével. Mutassuk meg, hogy az így kapott szorzat 36-os osztási maradéka mindig ugyanannyi.
(6 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT. |
C. 1025. Az a és b egész számok esetén jelentse aob a két szám közül a nem kisebbnél eggyel nagyobb számot, a*b a két szám közül a nem nagyobbnál eggyel nagyobb számot.
Oldjuk meg a következő egyenletet: (xo2010)*2011=x+2.
(5 pont)
C. 1026. Egy négyzet átlóit hosszabbítsuk meg az egyik irányban a négyzet oldalának hosszával. Hány egyenlőszárú háromszöget határoznak meg a meghosszabbítások végpontjai és a négyzet csúcsai?
(5 pont)
C. 1027. Oldjuk meg az (ax2+bx+14)2+(bx2+ax+8)2=0 egyenletet az egész számok halmazán, ahol a és b egészek.
(5 pont)
C. 1028. Adott a síkon az ABC szabályos háromszög. Hányszorosa a háromszög területének azon síkidom területe, amelyet azok a pontok alkotnak, amelyeknek a háromszög A csúcsától mért távolsága nem nagyobb, B és C csúcsától mért távolsága nem kisebb, mint a háromszög oldala?
(5 pont)
C. 1029. A üzletben 160 db húsvéti képeslap van egy kupacban. Egy vevő kettéveszi ezt a kupacot (nem feltétlenül két egyenlő részre, de mindkét kupacban legalább két képeslap van). Az egyikből egy képeslapot megvesz. A következő vásárló ugyanígy jár el, vagyis valamelyik meglévő kupacot megint kettéoszt az előbbi feltételek szerint, és az egyik kupacból egy képeslapot megvesz. Elérhető-e ilyen módon, hogy minden kupacban négy képeslap legyen?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT. |
B. 4252. Milyen n>2 egészekre igaz a következő állítás? ,,Bármely konvex n-szögnek van olyan oldala, amelyen lévő két szög egyike sem hegyesszög.''
(3 pont)
B. 4253. Kék és piros színű építőkockákból egy 6×6×6-os kockát építettünk úgy, hogy minden egyes 2×2×2-es rész pontosan 3 piros és 5 kék kockából áll. Igazoljuk, hogy a nagy kocka csúcsai közül is pontosan 3 piros és 5 kék.
(4 pont)
B. 4254. Létezik-e olyan nem azonosan nulla függvény a síkon, amelynek bármely szabályos ötszög csúcsain fölvett értékeit összeadva mindig nullát kapunk?
(4 pont)
B. 4255. Mutassuk meg, hogy ha az n pozitív egészre 2n+1 és 3n+1 négyzetszámok, akkor 5n+3 nem lehet prímszám.
(4 pont)
B. 4256. Van-e olyan háromszög, melynek egyik szögét négy egyenlő részre osztja a szög csúcsán átmenő magasságvonal, súlyvonal és szögfelező?
(4 pont)
B. 4257. 11 000 űrhajósból álló csoportot készítettek fel a Mars-utazásra. Tudjuk, hogy bármely 4 űrhajós közül kiválasztható 3 olyan, akik megfelelő személyzetet alkotnak a leszálló modulhoz. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható 5 űrhajós úgy, hogy közülük bármelyik 3 megfelelő személyzet legyen.
(5 pont)
B. 4258. Adott az ABC háromszög és az e egyenes. Az e melyik P pontjára lesz a PA2+2PB2+3PC2 távolság a legkisebb?
(3 pont)
B. 4259. Egy, az ABC háromszög B és C csúcsain átmenő kör az AB oldalt D-ben, az AC-t E-ben metszi. A háromszög AF súlyvonala DE-t G-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy
(4 pont)
B. 4260. Oldjuk meg a
egyenletrendszert.
(4 pont)
B. 4261. Kocka alakú házunkra olyan, két egyenlőszárú háromszögből és két szimmetrikus trapézból álló háztetőt készítünk, melynek élei egyenlőek, és bármely két szomszédos lapja ugyanakkora szöget zár be egymással. Hányszorosa a háztető éle a kocka élének?
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT. |
A. 503. Adottak a térben az u1,u2,...,un és v vektorok úgy, hogy |u1|
1, ..., |un|1 és |v|
1, továbbá u1+...+un=0. Igazoljuk, hogy
(5 pont)
A. 504. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges 0<r<k<t egészekhez létezik egy N(r,k,t) pozitív egész a következő tulajdonsággal: ha a G r-uniform hipergráfnak legalább N(r,k,t) pontja van, és bármely k pontja között van legalább egy él, akkor G tartalmaz teljes t-pontú részhipergráfot. (A hipergráf olyan gráf, amelyben az élek nem csak kettő, hanem tetszőleges számú pontot kötnek össze. A hipergráf akkor r-uniform, ha minden éléhez pontosan r pont tartozik. Egy r-uniform hipergráf teljes, ha bármely r pontját él köti össze.)
(5 pont)
A. 505. Az ABCD húrnégyszögben O1 és O2 az ABC, illetve az ABD háromszögbe írt kör középpontja. Az O1O2 egyenes a BC egyenest E-ben, az AD egyenest F-ben metszi.
(a) Igazoljuk, hogy létezik egy olyan k kör, ami E-ben, illetve F-ben érinti a BC és az AD egyenest.
(b) Mutassuk meg, hogy k érinti az ABCD négyszög köré írt kört is.
Javasolta: Nagy János (Budapest)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)