KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.


C. 1030. Az x, y valós számokra igaz, hogy x+3y=12 és x\ge2y\ge0. Milyen értékeket vehet fel x+2y?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1031. Egy fogadó az ötös lottón két szelvényen összesen tíz különböző számot jelölt meg. Ezek közül négyet ki is húztak. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a fogadónak

a) négyes találata lett?

b) kettes találata lett?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1032. Egy háromszög B és C csúcsát kössük össze a szemközti oldalak harmadolópontjaival. Ezen szakaszok egy négyszöget határoznak meg. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög egyik átlója párhuzamos a BC oldallal.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1033. Oldjuk meg az alábbi egyenletet: \(\displaystyle \log_{2010}\,(2009\,x)=\log_{2009}\,(2010\,x)\).

Javasolta: Pataki János (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1034. Forgassunk meg egy szabályos hatszöget a szimmetriatengelyei körül. Hogyan aránylanak egymáshoz a keletkező forgástestek felszínei?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.


B. 4262. Adottak a P és Q pontok. Határozzuk meg a P-n átmenő összes e egyenes és a Q-ra illeszkedő, e-re merőleges Se sík metszéspontjának mértani helyét.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4263. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

x3+4y=y3+16x,

\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}} =5.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4264. Az ABC háromszög C csúcsánál lévő szöge 120o. A háromszög magasságpontja M, a körülírt körének középpontja O, a kör ACB ívének felezőpontja pedig F. Bizonyítsuk be, hogy MF=FO.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4265. Színezzük ki a pozitív egész számokat 7 színnel úgy, hogy minden a pozitív egész számra az {a,2a,3a,4a,5a,6a,7a} halmaz elemeinek színe páronként különböző legyen.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4266. Jelölje a1, a2, a3, a4 a Pascal-háromszög egyik sorának négy, egymás után következő elemét. Igazoljuk, hogy az


\frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}}, \quad \frac{a_{2}}{a_{2}+a_{3}}, \quad
\frac{a_{3}}{a_{3}+a_{4}}

számok számtani sorozatot alkotnak.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4267. Mutassuk meg, hogy egy háromszög oldalaira a hozzáírt körök érintési pontjaiban állított merőlegesek egy ponton mennek át.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4268. Határozzuk meg \big(\sqrt{2010}+\big[\sqrt{2010}\,\big]\big)^{100} tizedestört alakjában a tizedesvessző utáni hatodik számjegyet.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4269. Szerkesszük meg az ABC háromszög AB oldalán azt a P pontot, amelyre a BCP és ACP háromszögekbe írható körök sugara egyenlő.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4270. Legyen ABCDEF egy körbe írt hatszög. Bizonyítsuk be, hogy

AD.BE.CF=AB.DE.CF+BC.EF.AD+CD.FA.BE+

+AB.CD.EF+BC.DE.FA.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4271. Van-e olyan legalább másodfokú polinom, amely a racionális számok halmazát kölcsönösen egyértelműen képezi le önmagára?

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.


A. 506. Igazoljuk, hogy tetszőleges p prímszámra a pozitív egészeket ki lehet színezni p-1 színnel úgy, hogy minden a pozitív egész számra az

{a,2a,3a,...,(p-1)a}

halmaz elemeinek színe páronként különböző legyen.

(5 pont)

statisztika


A. 507. A \(\displaystyle K_1,\dots,K_6\) körök ebben a sorrendben, kívülről érintik a \(\displaystyle K_0\) kört. Minden \(\displaystyle 1\le i\le 5\)-re a \(\displaystyle K_i\) és \(\displaystyle K_{i+1}\) körök kívülről érintik egymást, továbbá \(\displaystyle K_1\) és \(\displaystyle K_6\) is kívülről érintik egymást az ábra szerint. Jelöljük a \(\displaystyle K_i\) kör sugarát \(\displaystyle r_i\)-vel (\(\displaystyle 0\le i\le6\)). Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle r_1r_4=r_2r_5=r_3r_6=1\), akkor \(\displaystyle {r_0\le 1}\).

Javasolta: Strenner Balázs (Székesfehérvár)

(5 pont)

statisztika


A. 508. A \(\displaystyle G\) gráfnak egy \(\displaystyle S\) feszített részgráfját ,,dominánsnak'' nevezzük, ha \(\displaystyle G\) minden \(\displaystyle S\)-en kívüli csúcsának van szomszédja \(\displaystyle S\)-ben. Létezik-e olyan gráf, aminek páros számú számú domináns részgráfja van?

Javasolta: Lovász László Miklós (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley