KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.


K. 253. Péter és Pál választott egy-egy százzal osztható számot. Mindketten a saját választott számukhoz hozzáadták a szám tizedét és a századát is. Ekkor Péter összege 48 507, Pálé pedig 277 612 lett. Az egyikük eredménye helyes, a másik fiú viszont a helyes számolás eredményeképpen kapott szám utolsó számjegyét rosszul írta le. Melyikük eredménye helyes? Adjuk meg, hogy melyik százzal osztható számot választotta Péter, illetve Pál.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 254. Egy M számnak osztója a 14, a 15 és a 175. Nem osztója viszont a 28, a 45 és az 1225. Tudjuk még, hogy M osztója a 44 100-nak. Mi lehet az M?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 255. Minimum hány egész évnek kell eltelnie ahhoz, hogy ezalatt az idő alatt eltelt hónapok darabszámában csak egyes és nulla számjegy szerepeljen?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 256. Egy háromjegyű számban az egyesek helyén 3-mal kisebb szám áll, mint a százasok helyén.

a) Adjuk meg a fenti feltételnek megfelelő legnagyobb számot!

b) Hány, a fenti feltételnek megfelelő szám van összesen?

c) Melyek azok a fenti feltételnek megfelelő számok, amelyekből kivonva a számjegyek sorrendjének megfordításával nyert számot 297 lesz az eredmény?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 257. Egy téglatest felszíne 2010 cm2. Ha minden élét 1 cm-rel megnövelnénk, akkor a felszíne 2251,52 cm2 lenne. Mennyi lesz az eredmény, ha összeadjuk az eredeti téglatest három különböző hosszúságú élének hosszát?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 258. Az \frac{1000-x}{1001} egyszerűsíthető (pozitív értékű) törtben az x pozitív egész számot jelöl. Hányféle értéket vehet fel az x?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.


C. 1040. Egy stadion zöld gyepét két, egymással párhuzamos 100 méteres egyenes szakasz és két, ezekhez csatlakozó 100 méter hosszú félkörív határolja. Hányszorosa a gyep területének egy 400 m kerületű kör területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1041. Egy 2010 jegyű kilenccel osztható szám számjegyeit összeadtuk. A kapott szám számjegyeit újra összeadtuk, majd az így kapott szám számjegyeit újra összeadtuk. Mennyi lehetett az eredmény?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1042. Oldjuk meg a

x+y=x2-xy+y2

egyenletet, ahol x és y egész számok.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1043. Adott az


f(x)=\frac{{(x+a)}^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{{(x+b)}^2}{(b-a)(b-c)} +
\frac{{(x+c)}^2}{(c-a)(c-b)}

hozzárendelésű függvény, ahol a, b és c különböző valós számok. Határozzuk meg a függvény értékkészletét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1044. Az ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja M. Az AC átlót hosszabbítsuk meg az A-n túl MC hosszával, a BD átlót B-n túl MD hosszával, a kapott pontok E és F. Bizonyítsuk be, hogy EF párhuzamos a négyszög egyik középvonalával.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.


B. 4282. Egy medencébe négy különböző csapon át lehet vizet engedni. Ha egyszerre kinyitjuk az első és a második csapot, akkor a medence 2 óra alatt telik meg. Ha a második és a harmadik csapot nyitjuk meg egyszerre, akkor 3 óra alatt, a harmadik és a negyedik csap egyidejű megnyitása mellett pedig 4 óra alatt lesz tele a medence. Mennyi idő alatt telik meg a medence, ha a negyedik és az első csapon át folyatjuk bele egyszerre a vizet?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4283. Egy 23×23-as négyzetet felbontunk 1×1-es, 2×2-es és 3×3-as négyzetekre. Legalább hány darab 1×1-es négyzet szerepel a felbontásban?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4284. Bizonyítsuk be, hogy egy érintőtrapéznak van olyan átlója, amelyik az alapokkal legfeljebb 45o-os szöget zár be.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4285. Egy sorozat elemei pozitív egész számok, első két eleme az 1 és a 2. A sorozat semelyik két különböző elemének összege nem eleme a sorozatnak. Bizonyítsuk be, hogy bármely k természetes szám esetén a sorozat k-nál kisebb elemeinek száma legfeljebb


\frac{k}{3} +2.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4286. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója 36 egység. Az egyik befogóra, a derékszögű csúcstól indítva, egymáshoz csatlakozó szabályos háromszögek végtelen sorozatát rajzoljuk úgy, hogy a beírt háromszögek harmadik csúcsa mindig illeszkedik az átfogóra, és ezen csúcsokkal szemközti oldalaik kitöltik a befogót. Határozzuk meg a szabályos háromszögek területének összegét.

(Kavics Kupa feladata nyomán)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4287. Az ABC háromszög hozzáírt köreinek középpontja O1, O2 és O3. A háromszög egy, a beírt kör középpontjától különböző P belső pontjából a szögfelezőkre állított merőlegesek talppontjai M1, M2 és M3. Bizonyítsuk be, hogy az O1O2O3 és M1M2M3 háromszögek hasonlóak.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4288. A és B az egységkocka két szemközti csúcsa. Határozzuk meg annak a gömbnek a sugarát, amely érinti a kocka A-n átmenő lapjait és B-n átmenő éleit.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4289. Az A1A2A3A4 trapéz átlói A1A3=e és A2A4=f. Jelölje ri az AjAkAl háromszög körülírt körének sugarát, ahol {1,2,3,4}={i,j,k,l}. Mutassuk meg, hogy


\frac{r_2+r_4}{e}=\frac{r_1+r_3}{f}.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4290. Legyenek a és b pozitív egész számok. Tegyük fel, hogy p olyan egész együtthatós polinom, amely az egész helyeken felvesz a-val osztható értéket és b-vel oszthatót is. Igazoljuk, hogy van olyan egész szám, ahol p értéke a és b legkisebb közös többszörösével is osztható.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4291. Igazoljuk, hogy tetszőleges a, b, c pozitív számokra teljesül a következő egyenlőtlenség:

abbcca\leaabbcc.

(4 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.


A. 512. Van n=\frac{3^k-3}2, látszólag egyforma pénzérménk, de közülük csak n-1 egyforma, az egyik ugyanis ,,hamis'', könnyebb vagy nehezebb a többinél. Egy kétkarú mérleg segítségével szeretnénk meghatározni, melyik a hamis érme. Mutassuk meg, hogy k alkalmasan kiválasztott mérés elvégzésével biztosan megtalálhatjuk a hamis érmét, azt is meg tudjuk határozni, hogy könnyebb avagy nehezebb, sőt, lehetséges a mérések sorozatát előre összeállítani, az egyes mérések eredményének ismerete nélkül.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 513. Milyen p prímekre van olyan harmadfokú, egész együtthatós f polinom, amelynek főegyütthatója nem osztható p-vel, és amelyre az f(1),f(2),...,f(p) számok páronként különböző maradékot adnak p-vel osztva?

Javasolta: Maga Péter

(5 pont)

statisztika


A. 514. Adott a síkon három kör, k0, k1 és k2, amelyek páronként kívülről érintik egymást. A k0 kör középpontja O, egy átmérője A1A2. Jelöljük B-vel k1 és k2 érintési pontját, C1-gyel k0 és k1 érintési pontját, valamint C2-vel k0 és k2 érintési pontját. Az A1C2 és A2C1 szakaszok a k0 kör belsejében metszik egymást a D pontban. Az A1 és A2 pontokban k0-hoz húzott érintőket jelölje t1, illetve t2. Bizonyítsuk be, hogy ha a k1 kör érinti a t1, a k2 pedig érinti a t2 egyenest, akkor az OB szakasz átmegy a D ponton.

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley