KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

A. 521. Adott egy m pozitív egész és egy pozitív egészekből álló, végtelen a1<a2<... sorozat úgy, hogy ak\lemk teljesül végtelen sok k indexre. Igazoljuk, hogy léteznek olyan b1,...,bm pozitív egészek, amelyekre minden egész szám előáll ai-aj+bk alakban, ahol i, j pozitív egészek és 1\lek\lem.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 522. Az ABCDEF gömbhatszög csúcsai és oldalívei egy félgömbön helyezkednek el. Az AB oldalív merőleges a BC ívre, az AF ív merőleges az EF oldalívre, továbbá AB=AF, BC=CD, és DE=EF. Igazoljuk, hogy az AD és CE főkörívek merőlegesek egymásra.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 523. Adott egy egyszerű gráf és egy n pozitív egész. Mutassuk meg, hogy a gráfban vannak olyan, nem feltétlenül különböző a és b csúcsok, amire a gráfban az a kezdőpontú és b végpontú, n hosszúságú irányított séták száma páros. (A gráf csúcsainak egy (v0,v2,...,vn) sorozata ,,n hosszú irányított séta'', ha (v0,v1),...,(vn-1,vn) élei a gráfnak.)

(5 pont)

Statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

B. 4312. Egy társaságban mindenki 5 másik embert ismer (az ismeretségek kölcsönösek). Két embert kineveznek csapatkapitánynak, akik felváltva választanak egy-egy embert a csapatukba, amíg a társaság minden tagja csapattag nem lesz. Bizonyítsuk be, hogy a végén az egyik csapaton belül biztosan ugyanannyi ismeretség lesz, mint a másik csapaton belül.

Javasolta: Hubai Tamás és Király Zoltán

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4313. A, B, C, D, E és F egy hattagú társaság tagjai. A társaság tagjai között n darab csokoládét osztanak szét úgy, hogy mindegyikük kap legalább egy darab csokoládét, továbbá A kevesebbet kap mint B, aki kevesebbet kap mint C, aki kevesebbet kap mint D, aki kevesebbet kap mint E, s végül F kapja a legtöbbet. A társaság tagjai ismerik ezeket a feltételeket, n értékét, és persze azt is, hogy ők maguk hány darab csokoládét kapnak, ezen felül azonban semmilyen más információval nem rendelkeznek. Melyik az a lehető legkisebb n érték, amely mellett a szétosztást el lehet úgy végezni, hogy egyikük se tudja pontosan megmondani, ki hány darab csokit kapott?

(Kavics Kupa 2010 feladata nyomán)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4314. Három koncentrikus kör sugara 1, 2, illetve 3 egység. A három körön úgy választottunk ki egy-egy pontot, hogy azok egy szabályos háromszög csúcsai legyenek. Mekkora lehet ennek a szabályos háromszögnek az oldala?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4315. Az r pozitív racionális számról tudjuk, hogy rr is racionális. Igazoljuk, hogy r egész szám.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4316. Legyen az ABCD négyzet BC oldalának B-hez legközelebbi ötödölő pontja E, továbbá a CD oldal D-hez közelebbi harmadolópontjának C-re vonatkozó tükörképe F. Mutassuk meg, hogy az AE és BF egyenesek az ABCD négyzet köré írt körön metszik egymást.

Javasolta: Szászné Simon Judit (Budapest)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4317. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:


\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} & =\frac{35}{12},


\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} & =\frac{7}{12}.

Javasolta: Szombathy Miklós (Eger)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4318. Adott az ABCD tetraéder. Legyen P az AB él, Q pedig a CD él tetszőleges pontja. Határozzuk meg a PQ szakasz felezőpontjának mértani helyét.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4319. Valaki megrajzolt egy háromszöget úgy, hogy a csúcsai sajnos nem fértek rá a téglalap alakú papírlapra, de legalább az oldalaiból egy-egy szakasz látszik. Tudjuk, hogy a háromszög magasságpontja valahol a papírlapon van. Ezen a papírlapon dolgozva szerkesszük meg a háromszög magasságpontját.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4320. Írjuk le egy sorba az x_k=\big[k\sqrt2\,\big] (k=1,2,\ldots) számokat, alájuk pedig rendre azokat a 0<y1<y2<... egészeket, amelyek nem szerepelnek az xk számok között. Határozzuk meg az yk-xk különbséget k függvényében.

Javasolta: László Lajos (Budapest)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4321. Igazoljuk, hogy minden háromszögben fennáll az alábbi egyenlőtlenség:


\frac{b}{\sin \Big(\gamma + \dfrac{\alpha}{3}\,\Big)} +
\frac{c}{\sin \Big(\beta + \dfrac{\alpha}{3}\,\Big)} > \frac{2}{3} \cdot
\frac{a}{\sin \Big(\dfrac{\alpha}{3}\,\Big)}\,.

(Ifjúsági Matematikai Lapok, Kolozsvár)

(5 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

C. 1055. Hány olyan \overline{abcdabcd} alakú nyolcjegyű szám van, amely osztható 18 769-cel?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1056. Van 10 azonos méretű, gömb alakú karácsonyfadíszünk két dobozban, az egyikben 4, a másikban 6. A gömbök közül 5 piros, 3 arany és 2 ezüst. Hányféleképpen helyezhetjük el a gömböket a dobozokban, ha az azonos színű gömböket nem különböztetjük meg és a dobozon belüli sorrend nem számít?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1057. Piros, fehér és zöld színnel jelöltünk meg néhány pontot a síkon, amelyek közül semelyik három nincs egy egyenesen. A különböző színű pontpárokat összekötő egyenesek száma 213, az azonos színű párokat összekötőké 112. Hány pontot jelöltünk meg?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1058. Egy háromszög két csúcsa rögzített, a harmadik pedig úgy mozog, hogy az oldalak négyzetösszege egyenlő a háromszög területének 8-szorosával. Milyen görbén mozog a harmadik csúcs?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1059. Egységnyi oldalú szabályos ötszög egy csúcsból kiinduló két átlóját berajzolva egy szabályos háromszög alapú gúla palástjának hálózatát kapjuk. Mekkora a gúla térfogata?

(5 pont)

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

K. 271. Sanyi elutazott a rokonaihoz, vonattal indult, majd buszra szállt át. A vonat 80 km/h, a busz 45 km/h átlagsebességgel haladt. A vonat ugyanannyi ideig ment, mint a busz, de Sanyi vonattal 140 km-rel többet ment, mint busszal. Hány km-t utazott összesen Sanyi?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 272. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogóján felvettünk egy P pontot úgy, hogy AC=AP. Az AP szakaszon felvettünk egy Q pontot, amelyre PCQ\sphericalangle=45^\circ. Igazoljuk, hogy CQB egyenlőszárú háromszög.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 273. Egy hosszú egyenes csőben van egy egér, a cső 3/8 részénél. Egy macska a cső egyenesének meghosszabbításában áll, a cső azon végéhez közelebb, melyhez az egér is közelebb van. Meglátja az egeret, és elkezd futni a cső felé, ugyanebben a pillanatban az egér is elkezd futni a cső valamelyik vége felé (mindkét állat egyenletes sebességgel szalad). Azonban az egér nem tud elmenekülni, a cső bármelyik végéhez is indul, a macska éppen a cső végénél elkapja mindkét esetben. Hányszor olyan gyorsan fut a macska, mint az egér?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 274. Egy városban a férfiak 2/3 része, a nők 3/5 része él házasságban. (Mindenkinek csak egy férje, illetve felesége van, és a házastárs természetesen ugyanabban a városban lakik.) A város lakóinak hányadrésze él házasságban?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 275. Egy idegen lényekkel teli csészealj-űrhajó repül a földfelszín felett állandó magasságban (azaz mindig azonos távolságban a földtől), 800 km/h állandó sebességgel. A csészealj reggel 8-kor még London felett járt, 1 óra 24 perc múlva pedig már Berlin fölött. A Föld alakját tekintsük gömbnek, sugarát 6370 km-nek. A London--Berlin távolság a Föld felszínén mérve 929 km. A csészealj két pont között a feltételeknek megfelelő legrövidebb útvonalon halad. Milyen távolságra van a Föld felszínétől?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 276. Adott nyolc háromjegyű szám, amelyeket kettesével egymás mellé írva hatjegyű számokat készítünk az összes lehetséges módon. Azt tapasztaljuk, hogy minden esetben találunk 7-tel osztható hatjegyű számot. Miért?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley