KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.


K. 343. Egy dobozban olyan gombok vannak, amelyeket négy, kettő, illetve egy lyukon keresztül lehet felvarrni.

Összesen 61 lyuk és 27 gomb van. Tudjuk, hogy mindegyik fajtából van legalább egy, és az egylyukúból van a legtöbb. Melyikből mennyi lehet a dobozban?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 344. Egy vidámparkban a körhintán egységes belépőjegy van felnőtteknek és gyerekeknek egyaránt, de az első valahány menet a felnőtteknek és a gyerekeknek is ingyen van. A felnőtteknek kevesebb menet van ingyen, mint a gyerekeknek. Két felnőtt egy gyerekkel összesen 20 menetért 3200 Ft-ot fizetett, három felnőtt két gyerekkel ugyanennyi menetért csak 2600 Ft-ot, két felnőtt három gyerekkel pedig 2400 Ft-ot. Hány menet van ingyen a gyerekeknek, illetve a felnőtteknek, ha mindenki kihasználta az összes ,,ingyen'' menetét?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 345. Összesen 90 cm hosszú drótból két, nyeles négyzet alakú keretet hajtogattunk, mégpedig úgy, hogy a keret nyelének hossza megegyezik a megfelelő keret egy oldalának hosszával (ld. ábra), ami cm-ben mérve egész szám. A keretek területének összege 170 cm2 lett. Mennyivel magasabb az egyik keret a másiknál? (A keret magasságát a nyél aljától a keret tetejéig értjük.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 346. Egy sorozatban a harmadik tagtól kezdve úgy képezzük a tagokat, hogy az eggyel előtte lévő tagból kivonjuk a kettővel előtte lévő tagot. (Tehát a harmadik tag = a második tag - az első tag, a negyedik tag = a harmadik tag - a második tag, és így tovább.) A sorozat első eleme 2, a sorozat első 2012 elemének összege 2012. Mennyi a sorozat második eleme?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 347. A hetvenes éveiben járó Luca nagyinak több fia van, mint lánya. Minden fiának annyi fia van, mint ahány testvére, és minden lányának csak lánya van. Hány éves Luca nagyi, ha életkorának fele megegyezik fiúunokái és fiúgyermekei számának összegével?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 348. Egy tört számlálója és nevezője is kétjegyű szám. A számlálójában szerepel a 3, a nevezőjében pedig az 5 számjegy, továbbá a másik két számjegy egyenlő. Hány ilyen különböző értékű tört van?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.


C. 1135. Az iskolai matematika verseny döntőjébe Aladár (A), Béla (B), Cecília (C), Diána (D), Elemér (E) és Franciska (F) jutott be. Az első feladat kijavítása után a szervező így szólt: ,,3 versenyzőnek van 10 pontja, a többinek 7. Mindenki tippelje meg, hogy mely versenyzők kaptak tíz pontot!'' A versenyzők az alábbi tippeket adták be: A, B, D; A, C, E; A, D, E; B, C, E; B, D, E; C, D, E. A szervező közölte, hogy senki sem találta el mindhárom tízpontost. A tippelők közül hárman kettőt-kettőt, ketten egyet-egyet, egy pedig egyet sem talált el. Mely versenyzők kaptak tíz pontot?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1136. Az ABC háromszög magasságpontja M, az AB oldal felezőpontja F, az A csúcsból induló magasság talppontja T. Tudjuk, hogy MF=4, TM=5, TF=6. Szerkesszük meg az ABC háromszöget.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1137. A Fibonacci sorozat első két tagja: a1=1, a2=1 és minden további tagja egyenlő az előtte álló két tag összegével, azaz an=an-2+an-1 (n\ge3). Bizonyítsuk be, hogy nincs a sorozatnak olyan tagja, amely 13-mal osztva 4 maradékot ad.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1138. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán.


\sqrt{4-x(4-x)} -\sqrt{4-x} =4.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1139. Legalább mekkora átfogójú az a derékszögű háromszög, amelynek kerülete k?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.


B. 4472. Bizonyítsuk be, hogy hét egymást követő egész szám négyzetének az összege nem lehet négyzetszám.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4473. Adott a px3-qx2-rx+s=0 harmadfokú egyenlet, ahol p, q, r, s olyan pozitív számok, amelyekre ps=qr. Bizonyítsuk be, hogy az egyenletnek van két különböző valós gyöke. Milyen feltétel esetén van három különböző gyök?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4474. Az ABCD négyzet AB, BC, CD és DA oldalain vegyük fel rendre a K, L, M és N pontokat úgy, hogy KLA \sphericalangle = LAM \sphericalangle = AMN
\sphericalangle = 45^{\circ} legyen. Bizonyítsuk be, hogy KL2+AM2=LA2+MN2.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4475. Mutassuk meg, hogy minden ötlapú konvex poliéderhez létezik olyan sík, amely a poliédernek egyik csúcsán sem megy át, de mindegyik lapját metszi.

Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4476. Mutassuk meg, hogy a 169 végtelen sokféleképpen írható fel két racionális szám négyzetének összegeként.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4477. Az ABC hegyesszögű háromszögben a szokásos jelölések mellett \alpha<\beta. Legyenek R és P az A, illetve a C csúcsból induló magasságok talppontjai. Jelölje Q az AB egyenes egy olyan, P-től különböző pontját, amelyre AP.BQ=AQ.BP. Bizonyítsuk be, hogy az RB egyenes felezi a PRQ szöget.

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4478. Mutassuk meg, hogy ha \alpha, \beta és \gamma egy hegyesszögű háromszög szögei, akkor


\mathop{\rm tg}\nolimits^3 \alpha +\mathop{\rm tg}\nolimits^3 \beta +\mathop{\rm
tg}\nolimits^3 \gamma \ge 9\sqrt{3}.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4479. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB és AC szárain úgy helyezkednek el a D, illetve E pontok, hogy AD=BC=EC. Mekkora lehet az A csúcsnál lévő szög, ha az ADE háromszög is egyenlő szárú?

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4480. Az ABC háromszög AB oldalához tartozó hozzáírt köre az AB, BC és CA oldalegyeneseket rendre az E, F, G pontokban érinti. Az AF és BG egyenesek metszéspontja H. Az ABC háromszög középvonalai által alkotott háromszög beírt köre az AB-vel párhuzamos oldalt az N pontban érinti. Igazoljuk, hogy az E, H és N pontok egy egyenesre illeszkednek.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4481. Határozzuk meg azokat az egész együtthatós f polinomokat, amelyekre teljesül, hogy tetszőleges n pozitív egész szám esetén az n és az f(n) számok prímosztói megegyeznek.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.


A. 569. Nevezzünk egy A\subset\mathbb{Z} halmazt érdekesnek, ha 2y-x\inA minden olyan x,y\inA pár esetén, amire x<y. Legyenek a_1<a_2<\ldots<a_k olyan pozitív egészek (k\ge2), amelyek legnagyobb közös osztója 1. Bizonyítsuk be, hogy ha A érdekes halmaz, és \{0,a_1,\ldots,a_k\}\subset A, akkor a1+ak-3\inA.

Javasolta: Carlos Gustavo T. A. Moreira (Gugu) (Rio de Janeiro)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 570. Adott az ABC háromszög. A háromszög tetszőleges X belső pontjára jelöljük A1(X)-szel az AX és BC egyenesek metszéspontját, jelöljük B1(X)-szel a BX és CA egyenesek metszéspontját, és jelöljük C1(X)-szel a CX és AB egyenesek metszéspontját. Szerkesszünk olyan P pontot a háromszög belsejében, amelyre az AC1(P)PB1(P), BA1(P)PC1(P) és CB1(P)PA1(P) négyszögek mindegyikébe kört lehet írni.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

statisztika


A. 571. Egy háromszög oldalainak hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy


\sqrt{\frac{(2a+c)(2b+c)}{(3a+b)(3b+a)}} +
\sqrt{\frac{(2b+a)(2c+a)}{(3b+c)(3c+b)}} +
\sqrt{\frac{(2c+b)(2a+b)}{(3c+a)(3a+c)}} < \frac52.

Javasolta: Daniel Campos, San Jose, Costa Rica

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley