KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.


K. 349. Kati fiatalabb a férjénél, de életkoruk ugyanabból a két számjegyből álló kétjegyű szám. Életkoruk összege egyenlő az életkoruk különbségének 11-szeresével. Hány éves Kati?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 350. Pisti távol lakik az új munkahelyétől, így elhatározta, hogy kocsival fog járni. Az első napon elindult, 70 km/h átlagsebességgel haladt (lényegében egyenletesen), és 1 percet késett. Másnap ugyanakkor indult, de 75 km/h átlagsebességgel haladt (egyenletesen), így 1 perccel korábban ért oda, mint a munkakezdés időpontja. Milyen messze lakik a munkahelyétől?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 351. Keressünk olyan TÚRTÚR alakú 49-cel osztható számokat, amelyek számjegyeiből képzett RÚTRÚT alakú számok is oszthatóak 49-cel.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 352. Készítsünk egy 5×5-ös táblázatot, és írjuk bele a számokat 1-től 25-ig balról jobbra, fentről lefelé. Cseréljük fel akárhányszor a sorokat, majd akárhányszor az oszlopokat. Az így ,,megkevert'' táblázat minden cellájának értékéhez adjunk 7-et, majd adjuk össze az egyik átlóban álló számokat. Bizonyítsuk be, hogy az eredmény mindig 100.

1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 353. Hol vannak a derékszögű-koordinátarendszerben azok a P(x;y) pontok, amelyeknek a koordinátáira xy-2y=3x-6?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 354. Egy pozitív egész szám és két szomszédjának négyzetösszege felírható öt egymást követő egész szám összegeként. Hány ilyen tulajdonságú szám van a háromjegyű számok között?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.


C. 1140. Anna, Bea, Cili és Dóri egy szobába került az osztálykiránduláson. A lányok a túrára 1 üveg narancslevet, 2 üveg almalevet, 2 üveg baracklevet és 3 üveg ásványvizet kaptak. Hányféleképpen oszthatják el az italokat, ha mindegyik lány két üveg italt kaphat?

Javasolta: Balga Attila (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1141. Az n3+3n2+3n utolsó számjegye 4 (n pozitív egész). Mennyi a 4n2+5n+6 utolsó számjegye?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1142. A P, A, B és Q pontok ebben a sorrendben úgy illeszkednek egy egyenesre, hogy PA=BQ, továbbá a három szakaszból a 36o, 72o, 72o belső szögekkel rendelkező ABC háromszög szerkeszthető. A C középpontú, CP sugarú kör és az AC egyenes C-n túli metszéspontja legyen R. Milyen szögben látszik a PQ szakasz a C, illetve az R pontokból?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1143. Egy számsorozat induló elemei a 2, 4, 6, \ldots stb. páros számok. Egy bizonyos elemtől kezdve a sorozat d=3 differenciájú számtani sorozattal folytatódik. Melyik ez az elem, ha a sorozat első 50 elemének összege 2985?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1144. Határozzuk meg az S=x2y+2x+3+2y+xy2 lehető legnagyobb értékét, ha x2+y2=2.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.


B. 4482. Gumiországban csak a tízezernél kisebb természetes számokat ismerik. Ezek leírását rugalmasan oldják meg. A ,,gumiszámok'' leírásának alapszabálya, hogy minden számot a lehető legkisebb alapszámú számrendszerben írnak le úgy, hogy a leírt szám legfeljebb négyjegyű legyen. Sajnos az így leírt számok nem mindig dekódolhatók egyértelműen; a négyjegyű 1101 gumiszám például egyszerre jelenti a 13-at és a 37-et. Van-e olyan háromjegyű gumiszám, ami egyszerre több természetes számot is jelent?

Lakatos Tamás (Balassagyarmat) javaslata alapján

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4483. Egy négyzetrácsos fehér papíron 40 kis négyzetet pirosra festettünk. Bizonyítsuk be, hogy mindig ki lehet jelölni közülük 10 négyzetet úgy, hogy semelyik kettőnek ne legyen közös pontja.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4484. Bizonyítsuk be, hogy az


1+2+2^{2}+\ldots +2^{x}=y^{z}

egyenletnek nincs olyan x, y, z pozitív egész megoldása, amelyre z>1 teljesül.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4485. Legfeljebb mekkora részét fedheti le egy háromszögnek egy olyan négyzet, amelynek minden csúcsa a háromszög valamelyik oldalán van?

Javasolta: Légrádi Imre (Sopron)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4486. Legyenek a és b pozitív egészek. Hány olyan n nemnegatív egész szám van, amelyre

\left[\frac{n}{ab}\right] + \left[\frac{n+b}{ab}\right] +
\left[\frac{n+2b}{ab}\right] + \ldots +
\left[\frac{n+(a-1)b}{ab}\right] =

= \left[\frac{n}{ab}\right] + \left[\frac{n+a}{ab}\right] +
\left[\frac{n+2a}{ab}\right] + \ldots + \left[\frac{n+(b-1)a}{ab}\right]?

([x] az x szám egészrészét, azaz azt a legnagyobb egész számot jelöli, amely nem nagyobb az x számnál.)

Javasolta: R. F. Stöckli (Buenos Aires)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4487. Van-e olyan sík, amely egy szabályos oktaédernek egyik csúcsán sem megy át, de mindegyik lapját metszi?

Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4488. Mutassuk meg, hogy a 168 nem írható fel két racionális szám négyzetének összegeként.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4489. Adottak a P1, P2 és P3 pontok, valamint a e1, e2 és e3 távolságok. Szerkesszünk olyan kört, amelyhez Pi-ből ei hosszúságú érintőszakasz húzható.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4490. Az ABC nem egyenlő szárú háromszög AC oldalán felvettük a P és Q belső pontokat úgy, hogy


ABP \sphericalangle = QBC\sphericalangle< \frac 12\cdot ABC\sphericalangle.

Az A-ból és a C-ből induló belső szögfelezők a BP szakaszt a K, illetve L, a BQ szakaszt pedig az M, illetve N pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy az AC, KN és LM egyenesek egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4491. 100 elítélt nevét valamilyen sorrendben beleteszik 100 sorszámmal ellátott fiókba. Ezek után az egyszemélyes celláikból egyesével véletlenszerűen behívják a rabokat. Mindegyikük tetszése szerint kihúzhat egyesével 50 fiókot. Ha megtalálta valamelyikben a saját nevét, akkor elvezetik egy külön terembe, ha nem, akkor az összes elítéltet azonnal kivégzik. Végül, ha mindannyian szerencsével jártak, valamennyiüket szabadon engedik. Mutassuk meg, hogy e szabályok ismeretében a rabok ki tudnak dolgozni egy olyan stratégiát, amelyet alkalmazva 30%-nál nagyobb az esélye annak, hogy kiszabadulnak.

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.


A. 572. Az O1, illetve O2 középpontú k1 és k2 körök a P és Q pontokban merőlegesen metszik egymást. A külső hasonlósági pontjuk H. A t egyenes a k1 kört a T1, a k2 kört a T2 pontban érinti. Legyen X olyan pont a két kör belsejében, amire HX=HP=HQ, és legyen X' az X tükörképe a t egyenesre. Legyen U1 az XX'T2 kör és a k1 kör rövidebbik PQ ívének metszéspontja, továbbá legyen U2 az XX'T1 kör és a k2 kör rövidebbik PQ ívének metszéspontja. Végül legyen V az O1U1 és O2U2 egyenesek metszéspontja. Mutassuk meg, hogy VU1=VU2.

(5 pont)

statisztika


A. 573. Legyen D={0,1,2,...,9} a számjegyek halmaza, és R\subsetD×D rendezett számjegypárok egy halmaza. Azt mondjuk, hogy egy (a1,a2,a3,...) végtelen számjegysorozat kompatibilis R-rel, ha (aj,aj+1)\inR minden j pozitív egészre. Határozzuk meg a legkisebb olyan K pozitív egészt, amire igaz, hogy ha egy tetszőleges R\subsetD×D halmaz legalább K különböző számjegysorozattal kompatibilis, akkor R végtelen sok számjegysorozattal kompatibilis.

CIIM 2012 (Guanajuato, Mexikó) 5. feladata alapján

(5 pont)

statisztika


A. 574. Legyen n\ge2, és legyen p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 valós együtthatós polinom.

Bizonyítsuk be, hogy ha valamilyen pozitív egész k-ra p(x) osztható a (x-1)k+1 polinommal, akkor


\sum_{\ell=0}^{n-1} |a_\ell| > 1+\frac{2k^2}{n}.

CIIM 2012 (Guanajuato, Mexikó)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley