KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.


K. 367. Julcsi iskolájában fagyiépítő versenyt rendeztek. A résztvevők 10 cm magas fagyitölcsérre építették a kompozíciót, egyesével egymásra helyezve a gombócokat. A gombócok eredetileg 4 cm átmérőjű gömb alakúak, de a rájuk helyezett gombócok deformálják őket, és minden egyes rajtuk levő gombóc miatt magasságuk 1 mm-rel csökken. A győztes fagyicsoda a tölcsér aljától a legfelső gombóc tetejéig 47,5 cm magas volt, és a legalsó gombóc magasságának egyharmadáig volt a tölcséren belül. Hány gombócot sikerült egymásra építenie a győztesnek?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 368. Egy négyzet alakú papírlapot az oldalával párhuzamos vágással két egyforma részre vágtunk. Ezután az egyik darabot a rövidebbik oldalával párhuzamos két vágással három egyforma részre, a másik darabot pedig a hosszabbik oldalával párhuzamos két vágással három egyforma részre vágtuk. A kapott hat darab lap kerülete összesen 72 cm. Hány cm az eredeti négyzet kerülete?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 369. Egy üzleti összejövetel elején mindenki mindenkivel névjegyet cserélt. György úr később csatlakozott a társasághoz. Mivel a megjelentek között volt olyan, akit ismert, ezért ő csak azoknak adott névjegyet, akiket nem ismert, viszont ő névjegyet már nem kapott senkitől sem. Így a gazdát cserélt névjegyek száma 12,5%-kal nőtt a György úr érkezése előtti állapothoz képest. Hány fős lett a társaság György úr érkezése után?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 370. Egy háromszög oldalai 4,4 cm, 5,5 cm és 7,7 cm hosszúak. Egy hozzá hasonló háromszög egyik oldala 15,4 cm. Mekkora lehet ennek a háromszögnek a kerülete?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 371. Az x3+4x2-7x-10=0 egyenlet gyökei -5; -1 és 2. Mik a gyökei az (x-3)3+4(x-3)2-7x+11=0 egyenletnek?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 372. Egy 10 cm oldalhosszúságú négyzetbe az átlókkal párhuzamos egyenesekkel rajzoltunk egy keresztet az ábrának megfelelően. A kereszt határait alkotó, a négyzeten belül haladó vonalak a csúcsoktól azonos távolságra metszik a négyzet oldalait. Mekkora a kereszt egy szárát meghatározó párhuzamos egyenesek távolsága, ha a kereszt területe 64 cm2?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.


C. 1155. Dobókockával háromszor dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz a dobott számok szorzata 12?

Javasolta: Rimay Zoé (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1156. Egy hold alakú, tengelyesen szimmetrikus medál vázlata az ábrán látható. A holdat határoló félkör sugara 20 mm, a másik határoló körív sugara pedig 25 mm. Határozzuk meg a satírozással jelölt körök sugarát.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1157. Az a valós paraméter mely értéke esetén lesz az


ax^2+a^2 x+a= \frac 1a

egyenletnek két egyenlő gyöke?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1158. Egy deltoid alakú telek három belső szöge 80o-os. Milyen hosszú kerítéssel lehet a 900 m2 területű telket teljesen bekeríteni?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1159. Képzeljük el az összes, egymással nem egybevágó téglalapot, amelyeknek oldalhosszait az \{1; 2; \ldots; 100\} számhalmazból választott két, különböző egész szám ad. Határozzuk meg ezen téglalapok területösszegét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.


B. 4512. Két egybevágó kocka minden lapjára egy-egy számjegyet írunk úgy, hogy a kockákat megfelelően elforgatva, majd egymás mellé téve egy hónap bármely napjának sorszámát megkapjuk. (Az egy számjegyű napok írása a szokásnak megfelelően pl. 01. Szükség esetén a 9-es a 6-os elforgatásával is megkapható.) Hányféleképpen tehetjük meg ezt, ha az egyes kockákon szereplő számok egymáshoz viszonyított helyzetét nem vesszük figyelembe?

Javasolta: Balga Attila (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4513. Egy egységnyi alapú, egyenlő szárú háromszög köré írt kör sugara szintén egységnyi. Az alappal párhuzamos átmérővel levágunk a háromszögből egy kisebb háromszöget. Adjuk meg a kis háromszög szárának és alapjának hosszát pontosan.

Javasolta: Balga Attila (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4514. Oldjuk meg a

36a4+b4=9c4+4d4

egyenletet az egész számok halmazán.

Javasolta: Orosz Gyula (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4515. Zseton bedobása után a játékautomata feldob egy szabályos játékkockát, majd megmutatja a dobás eredményét. Ezután választhatunk: vagy felvesszük a nyereményt - ami a dobott szám értékének 100-szorosa - és a játék véget ér, vagy újabb zsetont dobunk az automatába. Az utóbbi esetben a gép ismét dob, és a nyeremény a két dobott szám szorzatának a 100-szorosa. A játék legkésőbb a második dobás után véget ér. Legalább mennyi legyen a zseton ára, hogy az automata üzemeltetőjének hosszú távon nyeresége legyen?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4516. Az ABC háromszögben \mathop{\rm tg}\alpha=2 és \mathop{\rm tg}\gamma=1, valamint b=12. Az A-val és B-vel szemközti oldalak felezőpontjai rendre Fa és Fb, a magasságok talppontjai rendre Ta és Tb. Igazoljuk, hogy az ABC háromszög súlypontja, magasságpontja és a TaFb és FaTb metszéspontja egy egyenesre esik.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4517. Az O középpontú egység sugarú XY negyedköríven felvettük az A\neB belső pontokat. Az A, B pontokon át az OX egyenessel húzott párhuzamosok az OY sugarat az AY, BY pontokban, az OY egyenessel húzott párhuzamosok az OX sugarat az AX, BX pontokban metszik. Határozzuk meg az AAXBXB és AAYBYB négyszögek területének összegét az AB szakasz hosszának függvényében.

Javasolta: Károlyi Gyula (Budapest, Brisbane)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4518. Legyen n\ge2 páros szám, 0<k<n egész. Melyik az a legkisebb e szám, amelyre teljesül a következő: ha egy n pontú egyszerű gráfnak legalább e éle van, akkor van benne k páronként éldiszjunkt teljes párosítás?

Javasolta: Maga Péter (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4519. Tegyük fel, hogy az ABCD tetraéder magasságvonalai az M ponton mennek át. A tetraéder köré írt gömb sugarát jelölje R. Mutassuk meg, hogy

MA2+MB2+MC2+MD2=4R2.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4520. Legyenek a, b és c pozitív számok. Határozzuk meg az x, y, z nemnegatív változók értékét úgy, hogy az


a^2\frac{x}{y+z} + b^2\frac{y}{z+x} + c^2\frac{z}{x+y}

kifejezés értéke minimális legyen.

Szöllősy György (Máramarossziget) feladata nyomán

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4521. Az e egyenes AB szakaszának belső pontja C. Az AB, AC és CB szakaszokra az e ugyanazon félsíkjában emelt félkörök k1, k2 és k3. A félkörök ívének felezőpontjai F1, F2 és F3. A k1 félkört belülről, a k2 és k3 félköröket kívülről érintő kör érintési pontja a k1 félkörrel az E pont. Mutassuk meg, hogy az AB szakasz M felezőpontja, a C, F1, F2, F3 és E pontok mind egy körön vannak.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.


A. 581. Adott a síkban két különböző sugarú kör, k1 és k2, és a körökön kívül fekvő O pont. Az O-ból k1-hez húzott érintők végpontjai P és Q, az O-ból k2-hez húzott érintők végpontjai R és S. A P, Q, R, S pontok különbözők. Legyen a k1 és k2 külső hasonlósági pontja H. Igazoljuk, hogy ha a PR egyenes nem a két kör valamelyik külső közös érintője, de átmegy H-n, akkor QS is átmegy H-n.

(5 pont)

statisztika


A. 582. Legyen p rögzített pozitív prímszám. Tetszőleges f(x) egész együtthatós polinomra legyen

f*(x)=f((1+x)p-1).

Határozzuk meg mindazokat a g egész együtthatós polinomokat, amelyekre teljesül a következő: minden pozitív egész n-hez van olyan f egész együtthatós polinom, amelyre a g-(f-f*) polinom n-nél kisebb fokú együtthatói mind oszthatók pn-nel.

Javasolta: Maga Péter (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 583. Adott n véletlen esemény (n\ge3) úgy, hogy mindegyikük valószínűsége \frac12, bármelyik kettő együttes bekövetkezésének valószínűsége \frac14, továbbá bármelyik három együttes bekövetkezésének valószínűsége \frac18.

(a) Igazoljuk, hogy annak a valószínűsége, hogy egyik esemény sem következik be, legfeljebb \frac{1}{2n}.

(b) Mutassuk meg, hogy végtelen sok n esetén megadhatók az események oly módon, hogy pontosan \frac{1}{2n} legyen annak a valószínűsége, hogy egyik esemény sem következik be.

A 2012. évi Kürschák-verseny 3. feladata nyomán

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley