KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.


C. 1170. Ágnes és Péter testvérek. Mivel születésnapjuk március 25-e, illetve február 9-e, így egy olyan egész együtthatós harmadfokú függvényt szeretnének készíteni, amelyre f(9)=2 és f(25)=3. Van ilyen függvény?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1171. Egy trapéz 7 cm-es átlója a másik átlót 4,5 cm és 6 cm hosszú darabokra osztja, a rövidebbik szára pedig 5 cm-es. Mekkora a trapéz területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1173. Adott az y=\frac72 x egyenletű egyenes. Mekkora az egyenestől való távolsága azoknak az egész koordinátájú pontoknak, amelyek a legközelebb vannak az egyeneshez, de nem illeszkednek rá?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1174. Egy kocka éleit kiszínezzük három különböző színnel úgy, hogy a párhuzamos élei azonos színűek legyenek. Jelöljük meg az élek harmadolópontjait. Véletlenszerűen választva mindhárom színből két-két pontot, mi a valószínűsége annak, hogy egy síkban vannak? (A megoldáshoz nem szükséges bizonyítani, hogy a kiválasztott hat pont egy síkba esik.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.


B. 4542. Egy derékszögű háromszög derékszögű csúcsát merőlegesen vetítjük egyik hegyesszögének szögfelezőjére. Bizonyítsuk be, hogy a kapott pont rajta van a háromszög átfogóval párhuzamos középvonalán.

Olosz Ferenc (Szatmárnémeti)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4543. Egy szabályos kilencszög bizonyos csúcsait pirosra, a többit feketére festettük. Nevezzünk egy háromszöget ,,unalmasnak'', ha minden csúcsa azonos színű. Bizonyítsuk be, hogy létezik két egybevágó ,,unalmas'' háromszög.

Matlap (Kolozsvár)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4544. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

x+y+z=3,

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{5}{12},

x3+y3+z3=45.

Felvidéki versenyfeladat

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4545. Lehet-e 2013 különböző pozitív egész szám reciprokának összege

a) 2,013;

b) 20,13?

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4546. Legfeljebb hány olyan, egy pontból induló félegyenes adható meg a térben, amelyek közül bármelyik kettő tompaszöget zár be egymással?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4547. Adjuk meg a


\sqrt{1-x+x^{2}}+\sqrt{1-\sqrt{3}\cdot x+x^{2}}

kifejezés minimális értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4548. Adott az ABC egységnyi befogójú, egyenlő szárú derékszögű háromszög, valamint az AB oldalon az A1, a BC oldalon a B1 és a CA átfogón a C1 pont. Minimálisan mekkora lehet az A1B1 távolság, ha az ABC és az A1B1C1 háromszögek hasonlók?

Kvant

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4549. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben a szögek szinuszának összege legalább akkora, mint a kétszeres szögek szinuszának az összege.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4550. Igazoljuk, hogy minden 4-nél nagyobb 2-hatvány előáll a2+7b2 alakban, ahol a és b pozitív páratlan számok.

Javasolta: Williams Kada Kálmán (Szeged)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4551. Az ABCD szimmetrikus trapéz AB alapján P az a pont, amelyre AP-BP=AC-BC. A P-ben AB-re állított merőleges a CD, AC és BD egyeneseket rendre a Q, az R, illetve az S pontban metszi. Legyen k1 az a kör, amely az AC és BD egyeneseket az R, illetve az S pontokban érinti, és legyen k2 a PQ átmérőjű kör. Mutassuk meg, hogy k1 és k2 érintik egymást.

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.


A. 590. Határozzuk meg azokat az a egész számokat, amelyekhez létezik olyan egész együtthatós p(x) polinom, amelyre


p\big(\big(\root3\of {a}\,\big)^2 + \root3\of {a}\,\big) =
\big(\root3\of {a}\,\big)^2 - \root3\of {a}.

A Vojtech Jarník verseny feladata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 591. Az ABCD konvex négyszög AB, BC, CD és DA oldalain adottak rendre a P, Q, R, illetve S pontok. A PR és QS szakaszok metszéspontja T. Tegyük fel, hogy az APTS, BQTP, CRTQ és DSTR négyszögek mindegyike érintőnégyszög. Bizonyítsuk be, hogy az ABCD négyszög is érintőnégyszög.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 592. Egy 22n mélységű bináris fa csúcsait kiszínezzük a következő módon. Legyen kezdetben minden csúcs fehér. Vegyük a csúcsoknak egy véletlen sorrendjét, és a soron következő csúcsot színezzük mindig pirosra, kivéve, ha indul belőle lefelé (a gyökértől távolodva) olyan n hosszú út, melynek a többi csúcsa már mind piros. Jelölje p(n) annak valószínűségét, hogy az eljárás során a gyökér fehér maradt. Határozzuk meg \lim_{n\to\infty} p(n) értékét.

Javasolta: Csóka Endre

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley