KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

A. 599. A \mathcal{P}_1 és \mathcal{P}_2 parabolák fókuszpontja közös. A \mathcal{P}_1 vezéregyenese a \mathcal{P}_2-t az A és B pontokban, a \mathcal{P}_2 vezéregyenese pedig a \mathcal{P}_1-et az C és D pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy az A, B, C és D pontok egy körön vannak.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 600. Mutassuk meg, hogy a síkon minden zárt {\cal K} sokszöglemezhez létezik olyan \alpha valós szám, hogy bármely n pozitív egészhez és A_1,\ldots,A_n\in{\cal K} pontokhoz van olyan X\in{\cal K} pont, amire


\frac{|XA_1|+\ldots+|XA_n|}{n} = \alpha.

A CIIM5 (Kolumbia) feladata alapján

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 601. Legyen q\ge1 egész szám. Bizonyítsuk be, hogy van olyan Cq egész szám, hogy minden egész számokból álló véges A halmazra

|A+q.A|\ge(q+1)|A|-Cq.

(Az A+q.A halmaz azon egész számokból áll, melyek felírhatók a+qa' alakban alkalmas a,a'\inA-val.)

(Schweitzer-verseny, 2013)

(5 pont)

Megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

B. 4572. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenség-rendszert az egész számpárok halmazán:


11>2a-b,\quad 25>2b-a,\quad 42<3b-a \quad
%>
\rm{\'es}\quad 46<2a+b.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4573. Mutassuk meg, hogy egy szabályos 27-szög bármely hét csúcsa közül kiválasztható négy, amelyek trapézt határoznak meg.

(Németországi versenyfeladat, 2012)

(6 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4574. Oldjuk meg az

x+y+z=1,

ax+by+cz=d,

a2x+b2y+c2z=d2

egyenletrendszert, ahol az a, b, c, d különböző valós paraméterek.

(Matlap, Kolozsvár, 2013)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4575. Ősi hagyományai szerint a Fejszámolók törzse az éveknek a szerencsés, illetve a baljós besorolást adja. Például 2013 szerencsés év, mert az első 2013 pozitív egészet be lehet sorolni legalább két csoportba úgy, hogy bármely két csoportban lévő számok összege és darabszáma is egyenlő. Ha ez nem lehetséges, akkor az év a baljós jelzőt kapja. Melyek a baljós évek?

Javasolta: Káspári Tamás (Paks)

(6 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4576. Adott egy körön hat különböző pont. Kiválasztunk közülük hármat és az ezek által meghatározott háromszög magasságpontját összekötjük a másik három által meghatározott háromszög súlypontjával. Bizonyítsuk be, hogy az összes ilyen módon kapott szakasznak van közös pontja.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4577. Oldjuk meg a következő egyenletet:


\frac{(39-x)\root{5}\of{x-6}-(x-6)\root{5}\of{39-x}}{\root{5}\of{39-x}-\root{5}\of{x-6}}=30.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4578. Egy húrnégyszögről tudjuk, hogy érintőnégyszög is. Szerkesszük meg, ha adott három oldala.

Javasolta: Faragó András és Káspári Tamás (Paks)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4579. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azokat az (a;b) valós számpárokat, amelyekre az

x(x+4)+a(y2-1)+2by

kétváltozós polinom felbontható két elsőfokú polinom szorzatára.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4580. Egy háromszög oldalai egy mértani, szögei pedig egy számtani sorozat egymást követő elemei. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög egyenlő oldalú.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4581. Adott két egymásra merőleges kitérő egyenes és az \alpha hegyesszög. Hány olyan egyenes van, amely mindkettőt metszi és mindkettővel \alpha szöget zár be?

(5 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

C. 1189. Adjuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre az \frac{n^2+2n-8}{n^2+n-12} értéke is egész szám.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1190. Bizonyítsuk be, hogy ha egy trapéz húrnégyszög és érintőnégyszög is egyben, valamint átlói merőlegesek egymásra, akkor csak négyzet lehet.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1191. Egy szállítmányban lévő csomagok tömege a következő: n darab 1 kg-os, n-1 darab 2 kg-os, n-2 darab 3 kg-os stb., végül 1 darab n kg-os. Mekkora a szállítmányban egy csomag átlagos tömege n függvényében?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1192. Az \sqrt{5x^4+4x^2+3x+2\sqrt x+2}=4 egyenletnek az x=1 gyöke, erről behelyettesítéssel meggyőződhetünk. Oldjuk meg az egyenletet.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1193. Egy egységoldalú négyzet minden oldalára kifelé rajzolunk egy-egy 120o-os szárszögű egyenlőszárú háromszöget, és így egy egyenlő oldalú nyolcszöget kapunk. Tekintsük továbbá azt a szabályos nyolcszöget, aminek minden második csúcsát összekötve egy egységnyi oldalú négyzetet kapunk. Hányszorosa lesz az egyenlőoldalú nyolcszög területe a szabályos nyolcszög területének?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1194. Három szám összege 6,5; a legnagyobb és a legkisebb szám különbsége 4. Mekkora a három szám szorzatának maximuma?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1195. Az ABCDEFGH téglatest AF, FC és CA lapátlóinak hossza legyen rendre a, b és c, továbbá a lapátlók és a BH testátló által bezárt szög rendre \alpha, \beta és \gamma. Bizonyítsuk be, hogy a.cos \alpha-b.cos \beta+c.cos \gamma=0, ha az AB él hossza a BC és BF hossza közé esik.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

K. 391. Adjuk össze az összes olyan pozitív egész számot, amelyet ha 2013-mal osztunk, akkor a hányados és a maradék megegyezik.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 392. Egy földalatti tartókábel rögzítéséhez egy oszlopot ástak a földbe (az oszlop teteje is a föld alá került). Amikor az ehhez szükséges gödör félig elkészült, a munkások beleállították az oszlopot. Azt lehetett látni, ha teljes méretében kész lesz a gödör, akkor az oszlop teteje pont kétszer annyival lesz a föld alatt, mint amennyire most kilóg a gödörből. Milyen mély lesz a gödör, amikor készen lesz, ha az oszlop két méter magas?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 393. Vegyünk egy olyan szorzatot, amelynek minden tényezője 7. Kaphatunk-e így egy olyan 45 jegyű számot, amelyben az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből rendre 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 darab van?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 394. Egy pozitív egész szám és két szomszédjának négyzetösszege felírható öt egymást követő egész szám összegeként. Hány darab ilyen háromjegyű szám van?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 395. Hol vannak a derékszögű-koordinátarendszerben azok a P(x;y) pontok, amelyeknek a koordinátáira xy-2y=3x-6?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 396. A koordináta-rendszerben az (1;2), (5;A) és (A;7) pontok egy egyenesre esnek. Adjuk meg A értékét.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley