KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

A. 626. A sík \(\displaystyle 4n+5\), hármanként nem kollineáris pontját két színnel kiszínezzük. Igazoljuk, hogy lesz \(\displaystyle n\) üres (azaz, belsejében színes pontot nem tartalmazó) háromszög, amelyeknek a belseje páronként diszjunkt és amelyeknek az összes csúcsa mind egyszínű.

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2014

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 627. Legyen \(\displaystyle n\ge1\) rögzített egész. Számítsuk ki az

\(\displaystyle \inf_{p,f}\ \max_{0\le x\le 1} \big|f(x)-p(x)\big| \)

távolságot, ahol \(\displaystyle p\) az \(\displaystyle n\)-nél alacsonyabb fokú valós együtthatós polinomokon, \(\displaystyle f\) pedig a \(\displaystyle [0, 1]\) zárt intervallumon értelmezett,

\(\displaystyle f(x) = \sum_{k=n}^\infty c_k x^k \)

alakú függvényeken fut végig, ahol \(\displaystyle c_k\ge0\) és \(\displaystyle \sum_{k=n}^\infty c_k=1\).

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2014

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 628. Igaz-e, hogy minden olyan \(\displaystyle x_1,x_2,\ldots\), egész számokból álló végtelen sorozathoz, amelyre \(\displaystyle |x_{k+1}-x_k|=1\) minden \(\displaystyle k\) pozitív egészre, létezik pozitív egészeknek egy \(\displaystyle k_1<k_2<\ldots<k_{2014}\) sorozata úgy, hogy az \(\displaystyle k_1,k_2,\ldots,k_{2014}\) indexek és az \(\displaystyle x_{k_1},x_{k_2},\ldots,x_{k_{2014}}\) számok is (ebben a sorrendben) számtani sorozatot alkotnak?

Javasolta: Csóka Endre (Warwick) és Ben Green (Oxford)

(5 pont)

Megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

B. 4660. Egy körmérkőzéses bajnokságban mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik. A győzelem 3, a döntetlen 1, a vereség 0 pontot ér, pontegyenlőség esetén a csapatok közti sorrendet sorsolással állapítják meg. A bajnokság jelenleg is tart, a tabellát az \(\displaystyle A\) csapat vezeti. Tudjuk, hogy ha \(\displaystyle A\) a hátralevő fordulókban pontosan \(\displaystyle x\) pontot szerez még, akkor biztosan bajnok lesz. Ha viszont \(\displaystyle A\) több, mint \(\displaystyle x\) pontot szerez, akkor nem biztos, hogy az élen végez. (\(\displaystyle A\) szerezhet még \(\displaystyle x\)-nél több pontot.) Hány forduló van még hátra a bajnokságból?

Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4661. Adott egy \(\displaystyle n\) oszlopot és \(\displaystyle k\) sort tartalmazó sakktábla, melynek bizonyos mezőire korongokat helyeztünk (minden mezőre legfeljebb egyet). Nevezzünk két korongot szomszédosnak, ha egy sorban vagy oszlopban vannak, és az őket összekötő szakaszon nincs további korong. Minden korongnak legfeljebb három szomszédja van. Legfeljebb hány korong van a sakktáblán?

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Kís. Gimn.)

(6 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4662. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalaira kifelé rajzolt szabályos háromszögek harmadik csúcsai \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Szerkesszük meg az \(\displaystyle ABC\) háromszöget, ha adottak a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4663. Határozzuk meg a

\(\displaystyle 2x^3 - y^3 = 5 \)

egyenlet egész megoldásait.

Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4664. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle AB\) oldalára befelé az \(\displaystyle ABDE\) téglalapot írjuk úgy, hogy a \(\displaystyle C\) pont a \(\displaystyle DE\) oldalra kerüljön. Hasonlóan definiáljuk a \(\displaystyle BCFG\) téglalapot és a \(\displaystyle CAHI\) téglalapot. (Az \(\displaystyle A\) az \(\displaystyle FG\) szakaszra, a \(\displaystyle B\) pedig a \(\displaystyle HI\) szakaszra esik.) Az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CA\) oldalak felezőpontjai rendre \(\displaystyle J\), \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle L\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle GJH\sphericalangle\), \(\displaystyle IKD\sphericalangle\) és \(\displaystyle ELF\sphericalangle\) szögek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\).

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4665. Az \(\displaystyle m\) paraméter függvényében adjuk meg az

\(\displaystyle mX+4= \big|X^2-10X+21\big| \)

egyenlet megoldásainak számát.

Javasolta: Grallert Krisztina (Balassagyarmat)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4666. Bizonyítsuk be, hogy minden \(\displaystyle n\) pozitív egészre

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k-1) \left[\frac{n}{k}\right] = \sum_{k=1}^n \left[\frac{n}{k}\right]^2. \)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4667. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) valamely egységnyi kerületű háromszög oldalai, akkor

\(\displaystyle a^2+b^2+c^2+4abc<\frac{1}{2}. \)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4668. Egy tetraédert furcsának nevezünk, ha a csúcsait a szemközti lapok beírt körének középpontjával összekötő szakaszok egy ponton mennek át. Milyen feltételeknek tesznek eleget egy furcsa tetraéder élei?

Javasolta: Ruff János (Pécs)

(6 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

C. 1252. Négy egymás után következő páratlan szám szorzata 9-re végződik. Mi lehet a szorzatban a 9-es előtt álló számjegy?

(Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1253. Igazoljuk, hogy az olyan derékszögű háromszögekben, amelyekben minden oldalhossz egész szám, a derékszögű csúcs és az átfogó két harmadoló pontja által meghatározott háromszög területe is egész szám.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1255. Adjuk meg az \(\displaystyle \overline{abcd}\) négyjegyű számot, ha az \(\displaystyle n^4=\overline{a6b\;c4d\;641}\) egyenletben az \(\displaystyle n\) egy olyan pozitív egész szám, amelyben a számjegyek balról jobbra növekedve követik egymást.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1256. Egy király esélyt ad egy elítéltnek a megmenekülésre. Ehhez az elítéltnek bekötött szemmel három urnából kell egy-egy golyót húznia, majd a három kihúzott golyót egy negyedik urnába helyezik az őrök. A negyedik urnából ismét kell egy golyót húznia a bekötött szemű elítéltnek, aki megmenekül, ha ez a golyó fehér. Mekkora a megmenekülés valószínűsége, ha az urnákban a különböző színű golyók száma a következő:

fehér piros fekete
1. urna 2 5 3
2. urna 5 2 3
3. urna 3 3 4

Javasolta: Czinki József (Budapest)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1257. Egy háromszögben a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle b=1{,}5a\) és \(\displaystyle \beta=2\alpha\). Hányszorosa a \(\displaystyle c\) oldal hossza az \(\displaystyle a\) oldal hosszának?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1258. Egy kúp alapkörének sugara 1, magassága 2. Az alapkör sugarát \(\displaystyle x\)-szel növeljük, magasságát ugyanennyivel csökkentjük. Mekkora \(\displaystyle x\) érték esetén lesz a kúp térfogata maximális?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

K. 433. Van négy egyformának kinéző tárgyunk, melyek tömege 3, 5, 8 és 11 kg. Egy kétkarú mérleg áll rendelkezésünkre, külön súlyok nélkül.

\(\displaystyle a)\) Két mérés segítségével állapítsuk meg, hogy melyik a 11 kg-os tárgy a négy közül.

\(\displaystyle b)\) További két mérés segítségével állapítsuk meg a többi tárgy tömegét is.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 434. Laura észrevette, hogy ha a 16 évvel ezelőtti életkorának 16-szorosát kivonná a 16 év múlva leendő életkorából, akkor pont azt kapná meg, hogy hány éves volt 16 évvel ezelőtt. Hány éves most Laura?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 435. Egy 30 fős csoportban tesztet írtak. A sikeresen teljesítők pontátlaga 21 pont lett, a sikerteleneké 15, a teljes csoporté 20. Hányan írtak sikeres tesztet?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 436. Hány négyzetszám található az \(\displaystyle a_{n}= 1! + 2! + \ldots + n!\) sorozatban? (\(\displaystyle k!\) jelöli az 1-től \(\displaystyle k\)-ig terjedő egész számok szorzatát.)

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 437. Az alábbi szorzatban minden számjegy a 2, 3, 5, 7 valamelyike. Adjuk meg, a betűk milyen számjegyeket takarnak (a különböző betűk lehetnek azonos számjegyek, de csak a fenti négyből).

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 438. Laci két tesztet írt, mindegyikre maximum 100 pontot lehetett kapni. Amikor megnézte az eredményeket, azt látta, hogy mindkét teszten ő érte el a második legjobb eredményt. A két teszt összesített eredményét tekintve hányadik helyezést érhet el Laci?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley