KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

A. 650. Adott egy \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög, és a \(\displaystyle C\)-ből induló magasságvonalán egy \(\displaystyle X\) pont. Legyenek az \(\displaystyle AB\) egyenesen \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) azok a pontok, amelyekre \(\displaystyle DCB\sphericalangle=ACE\sphericalangle=90^\circ\). Legyen a \(\displaystyle DX\) szakaszon \(\displaystyle K\), az \(\displaystyle EX\) szakaszon pedig \(\displaystyle L\) az a pont, amelyre \(\displaystyle BK=BC\), illetve \(\displaystyle AL=AC\). Messe az \(\displaystyle AL\) egyenes \(\displaystyle BK\)-t \(\displaystyle Q\)-ban, \(\displaystyle BC\)-t pedig \(\displaystyle R\)-ben, végül messe a \(\displaystyle BK\) egyenes \(\displaystyle AC\)-t \(\displaystyle P\)-ben. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle CPQR\) négyszög érintőnégyszög.

(5 pont)

Statisztika

A. 651. Határozzuk meg mindazokat a \(\displaystyle P(x)\) valós együtthatós polinomokat, amelyekre

\(\displaystyle P \big(x^3-2\big)=P{(x)}^3-2 \)(1)

teljesül.

CIIM 2015, Mexikó

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 652. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan \(\displaystyle C>1\) szám, amelyre a következő tulajdonság teljesül: valahányszor \(\displaystyle n>1\), és \(\displaystyle a_0<a_1<\ldots<a_n\) olyan pozitív egészek, amelyekre az \(\displaystyle \frac1{a_0},\frac1{a_1},\ldots,\frac1{a_n}\) számok számtani sorozatot alkotnak, \(\displaystyle a_0> C^n\).

CIIM 2015, Mexikó

(5 pont)

Megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

B. 4732. Egy 36 fős osztály tanulóinak a matematika átlagait osztályfőnökük beírja egy \(\displaystyle 6 \times 6\)-os táblázatba. Mindegyik tanulónak más az átlaga. Az osztályfőnök megjelöli minden oszlopban a legnagyobb értéket. Azt találja, hogy a megjelölt 6 szám mind különböző sorban van. Ezek után megjelöli minden sorban a legnagyobb átlagot. Most pedig azt tapasztalja, hogy ezek mind különböző oszlopban helyezkednek el. Bizonyítsuk be, hogy a kétféle módszerrel ugyanazt a 6 átlagot jelölte meg.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4733. Egy \(\displaystyle n\ge 2\) csúcsú egyszerű, összefüggő gráf minden élére 1-est vagy 2-est írunk. Ezután minden csúcshoz hozzárendeljük a belőle kiinduló élekre írt számok szorzatát. Mutassuk meg, hogy lesz két olyan csúcs, melyekhez ugyanazt a számot rendeltük.

Javasolta: Ademir Hujdurović (Koper)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4734. Egy 2015 oldalélű kockarács néhány mezőjét (egységkockáját) ismeretlen fertőzés támadta meg. A fertőzés úgy terjed, hogy ha a kocka valamelyik oldalélével párhuzamos sorában legalább \(\displaystyle t\) mező fertőzött \(\displaystyle (1 \le t \le 2015)\), úgy egy perccel később a sorban minden mező fertőzötté válik. Határozzuk meg, hány, kezdetben fertőzött mező esetén

\(\displaystyle a)\) válik lehetségessé,

\(\displaystyle b)\) lehetünk biztosak benne,

hogy a fertőzés a kocka valamennyi mezőjét eléri.

Javasolta: Mészáros Gábor (Budapest)

(6 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4735. Szerkesszünk húrnégyszöget, ha adott két-két szemközti oldalegyenesének a metszéspontja, az egyik csúcsa, valamint az ezen áthaladó átló egyenese.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4736. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. Oldjuk meg a

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {|x_i|} = \sum_{i=1}^{n} \big|x_i^3\big| = \sum_{i=1}^{n} \frac{2 {|x_i|}^3}{x_i^2+1} \)

egyenletrendszert.

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4737. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög \(\displaystyle AB\) átfogójához tartozó magasságának talppontja \(\displaystyle D\). Az \(\displaystyle ACD\sphericalangle\) és a \(\displaystyle BCD\sphericalangle\) szögfelezője az \(\displaystyle AB\) átfogót rendre az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban metszi. Határozzuk meg az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt, és a \(\displaystyle CEF\) háromszög körülírt köre sugarainak arányát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4738. Az \(\displaystyle AB\) átmérőjű \(\displaystyle k\) körnek az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontoktól különböző tetszőleges pontja \(\displaystyle C\). Bocsássunk merőlegest a \(\displaystyle C\) pontból az \(\displaystyle AB\) átmérőre, a merőleges talppontja az \(\displaystyle AB\) szakaszon \(\displaystyle D\), illetve a merőlegesnek a \(\displaystyle k\) körrel való második metszéspontja \(\displaystyle E\). A \(\displaystyle C\) középpontú, \(\displaystyle CD\) sugarú kör a \(\displaystyle k\) kört a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokban metszi. Legyen a \(\displaystyle CE\) és \(\displaystyle PQ\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle M\). Határozzuk meg \(\displaystyle \frac{PM}{PE} + \frac{QM}{QE}\) értékét.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4739. Tekintsük azokat az \(\displaystyle x\) valós számokat, amelyekre \(\displaystyle \tg x + \ctg x\) pozitív egész szám. Határozzuk meg közülük azokat, amelyekre \(\displaystyle \tg^3x + \ctg^3 x\) prímszám.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4740. Nyolc egységkockát úgy ragasztunk össze egy testté, hogy a megfelelő éleik párhuzamosak. Bizonyítsuk be, hogy a kapott test felszíne legalább 24 egység. Ha a kapott test üreges, akkor csak a külső felszín számít.

(6 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

C. 1308. Alkalmas háromszögeket kettévágunk a legnagyobb szögüknél levő csúcson átmenő egyenessel két egyenlőszárú háromszögre. Mekkorák lehetnek egy tompaszögű háromszög szögei, ha a kettévágást két különböző módon is meg tudjuk tenni?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1309. Egy tetszőleges háromszög területét jelölje \(\displaystyle t\), köréírt körének sugarát \(\displaystyle R\), beírt körének sugarát pedig \(\displaystyle r\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle \frac{t}{3}<Rr\).

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1310. Sanyi egy négynapos túrára \(\displaystyle 19\,500\) Ft-ot vitt magával. Minden nap elköltötte meglévő pénzének egyharmadát és utána még egy állandó összeget. Mekkora volt ez az állandó összeg, ha a túra végére pénze éppen elfogyott?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1311. Az \(\displaystyle \frac{1}{3}\); 0,375; 1; 1,4; \(\displaystyle \sqrt{2}\); \(\displaystyle \frac{13}{8}\); 2; \(\displaystyle \frac{13}{5}\); \(\displaystyle \frac{8}{3}\); 3; 4; \(\displaystyle \sqrt{18}\); \(\displaystyle \sqrt{32}\) számok mindegyikét ellátjuk pozitív, vagy negatív előjellel, majd az így kapott számokat összeadjuk. Hányféle különböző előjelezéssel kaphatunk összegként \(\displaystyle 1\)-et?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1312. Határozzuk meg \(\displaystyle x^2+y^2\) értékét, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle xy+x+y=44\) és \(\displaystyle x^2y+xy^2=448\).

M&IQ

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1313. Egy egyenlő oldalú háromszög egyik csúcsa a \(\displaystyle (0;1)\) pont. Két további csúcsa közül az egyik az \(\displaystyle x\) tengelyen, a másik az \(\displaystyle y=3\) egyenletű egyenesen van. Mekkora a háromszög területe?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1314. Egy háromszög két oldala egységnyi hosszú, közrezárt szögük \(\displaystyle 108^{\circ}\). Írjunk a háromszögbe szabályos ötszöget úgy, hogy az ötszög oldalai közül három a háromszög oldalaira essen. Mekkorák a beírt ötszög oldalai?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

K. 469. Egy festéket \(\displaystyle 2 : 1{,}5\) arányban kell hígítani, azaz 1,5 liter festékhez 2 liter vizet kell adni, hogy jó legyen. Piktor Viktor először készített 9 liter keveréket, amibe fele-fele arányba kevert festéket és vizet. Ekkor észbekapott, és kiszámolta, mennyi vizet kellene még hozzáadnia, hogy jó legyen az arány, azonban tévedésből víz helyett annyi festéket tett még hozzá, amennyi vizet kellett volna. Másodjára azonban már nem hibázott, megfelelő mennyiségű víz hozzáadásával végül jó hígítású keveréket kapott. Hány liter keveréke lett végül?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 470. Kétféle méretű kockánk van, mindkettő élhossza egész cm. A piros kockák éle 5 cm-rel nagyobb, mint a kékeké. A kockákból összesen 15 db-ot egymásra tettünk, így egy 140 cm magas tornyot kaptunk. Mekkora a kockák éle, ha a piros és a kék kockák száma közötti eltérés a lehető legkisebb?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 471. Bori pénztárcájában kevés apró maradt: 1 db 5 Ft-os, 1 db 10 Ft-os, 1 db 20 Ft-os, 3 db 50 Ft-os, 3 db 100 Ft-os. Hány különböző összeget tud ezek segítségével pontosan (visszaadás nélkül) kifizetni?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 472. Mennyi az összege az összes olyan pozitív kétjegyű számnak, amelynek pontosan 12 osztója van?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 473. Mennyi a számjegyek összege a \(\displaystyle 2^{2015}\cdot 15\) szorzat bináris (kettes számrendszerben felírt) alakjában?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 474. Anna és Balázs szókitalálósat játszik. Anna gondol egy négybetűs értelmes magyar szóra, amit Balázs próbál kitalálni. Ha Balázs tippel egy négybetűs szót, akkor Anna elárulja, hogy az ő szavából hány betű szerepel benne, és közülük hány van jó, illetve rossz helyen. Mi lehetett Anna szava?

Balázs tippjei Jó betűk száma jó helyen Jó betűk száma rossz helyen
RÓKA 1 0
OKOS 0 0
IKRA 2 0
RITA 1 1
DANÓ 0 3

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley