KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

A. 656. Legyen \(\displaystyle p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n\) valós együtthatós polinom, amelyre \(\displaystyle x\ge0\) esetén \(\displaystyle p(x)\ge0\). Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) pozitív számok esetén

\(\displaystyle a_0 + a_1(c+d) + a_2(c+d)(c+2d) + \ldots + a_n(c+d)(c+2d)\ldots(c+nd) \ge0. \)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 657. Legyen \(\displaystyle \{x_n\}\) a van der Korput sorozat, azaz ha a pozitív egész \(\displaystyle n\) bináris alakja \(\displaystyle n=\sum_i a_i2^i\) \(\displaystyle \big(a_i\in\{0,1\}\big)\), akkor \(\displaystyle x_n=\sum_i a_i2^{-i-1}\). Legyen \(\displaystyle V\) a síkbeli \(\displaystyle (n,x_n)\) pontok halmaza, ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész. Legyen \(\displaystyle G\) az a gráf, melynek csúcshalmaza \(\displaystyle V\), és amelyben két különböző csúcsot, \(\displaystyle p\)-t és \(\displaystyle q\)-t akkor és csak akkor kötjük össze éllel, ha van olyan - a koordinátatengelyekkel párhuzamos állású - \(\displaystyle R\) téglalap, melyre \(\displaystyle R\cap V=\{p,q\}\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle G\) kromatikus száma véges.

Schweitzer Miklós emlékverseny, 2015

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 658. A háromdimenziós, origó középpontú egységgömb \(\displaystyle S^2\) határán egy \(\displaystyle w\) szélességű sávon egy \(\displaystyle w\) szélességű, origóra szimmetrikus gömbövet értünk. Mutassuk meg, hogy létezik olyan \(\displaystyle c>0\) konstans, amelyre minden pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén \(\displaystyle S^2\) lefedhető \(\displaystyle n\) darab egyforma szélességű sávval úgy, hogy minden pontot legfeljebb \(\displaystyle c\cdot\sqrt{n}\) sáv tartalmaz.

Schweitzer Miklós emlékverseny, 2015

(5 pont)

Megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

B. 4750. Anna szerint a háromjegyű, Balázs szerint az ötjegyű számok közül választva lesz nagyobb a valószínűsége annak, hogy a kapott számban van 6-os számjegy. Melyiküknek van igaza?

Matlap (Kolozsvár)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4751. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle 3^{n}+5^{n}\) egyetlen pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén sem négyzetszám.

Javasolta: Somlai Gábor (Budapest)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4752. Egy egyenes a közös pont nélküli \(\displaystyle k_1\), illetve \(\displaystyle k_2\) körből rendre az egyenlő hosszúságú \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) húrokat metszi ki. A metszéspontok sorban \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\). Egy \(\displaystyle P\) pontra teljesül, hogy \(\displaystyle PA\) érinti a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle PD\) pedig a \(\displaystyle k_2\) kört. Adjuk meg a \(\displaystyle \frac{PA}{PD}\) arányt a két kör sugarának felhasználásával.

M&IQ

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4753. Bizonyítsuk be, hogy bármely \(\displaystyle x>0\) számra

\(\displaystyle \sqrt{2x \sqrt{(2x+1) \sqrt{(2x+2) \sqrt{2x+3}}}} < \frac{15x+6}{8}. \)

Javasolta: Deák Imre (Székelyudvarhely)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4754. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle D\) belső pontján átmenő \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle CD\) egyenesek a szemközti oldalakat rendre az \(\displaystyle A_{1}\), \(\displaystyle B_{1}\) és \(\displaystyle C_{1}\) pontokban metszik. Az \(\displaystyle A_{1}B_{1}\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle C_{2}\), \(\displaystyle B_{1}C_{1}\) felezőpontja \(\displaystyle A_{2}\), \(\displaystyle C_{1}A_{1}\) felezőpontja pedig \(\displaystyle B_{2}\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AA_{2}\), \(\displaystyle BB_{2}\) és \(\displaystyle CC_{2}\) egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4755. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle CB\), illetve a \(\displaystyle CA\) oldalhoz írt \(\displaystyle k_A\), illetve \(\displaystyle k_B\) körök a megfelelő oldalakat a \(\displaystyle D\), illetve az \(\displaystyle E\) pontban érintik. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle DE\) egyenes a \(\displaystyle k_A\) és \(\displaystyle k_B\) körökből egyenlő hosszúságú húrokat metsz ki.

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4756. Adott az egységkocka belsejében néhány gömb, melyek felszínének összege 2015. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle a)\) van olyan egyenes, amely ezek közül legalább 500 gömböt metsz,

\(\displaystyle b)\) van olyan sík, amely ezek közül legalább 600 gömböt metsz.

Erdélyi Magyar Matematikaverseny

(6 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4757. Tízes számrendszerben a \(\displaystyle k\) darab 1-esből álló számot jelölje \(\displaystyle A_k\). Hány olyan pozitív egész szám van, amely nem állítható elő az \(\displaystyle A_k\) valamely többszöröse számjegyeinek összegeként?

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(6 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4758. Legalább hány különböző oldalegyenese van egy (nem feltétlenül konvex) \(\displaystyle 2015\)-szögnek?

Javasolta: Lenger Dániel (Budapest)

(6 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

C. 1322. Melyik az a legnagyobb hétjegyű szám, amit úgy kapunk, hogy egy számtani sorozat három egymást követő, pozitív egész tagját közvetlenül egymás után írjuk?

Quantum, 1998

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1323. Egy derékszögű háromszögben az \(\displaystyle A\) csúcsból induló szögfelező \(\displaystyle BC\) oldallal való metszéspontja legyen \(\displaystyle T\). A \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle F\)-ben állított felezőmerőleges metszéspontja a háromszög másik oldalával \(\displaystyle M\). Mekkorák a háromszög szögei, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle ATFM\) deltoid? (Az \(\displaystyle A\) a háromszög bármely csúcsát jelölheti.)

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1324. Ági szívecske alakú mézeskalácsokat süt karácsonyra. A mézecskalács formája egy 6 cm oldalú négyzet és két szomszédos oldalához illeszkedő félkör egyesítéseként jön létre. Az összegyúrt tésztát mindig ugyanolyan vastagságúra és egész deciméter oldalhosszúságú négyzet alakba nyújtja (a méreten túl lógó részeket levágja, és a testvérének adja). A szívecskéket úgy vágja ki a négyzetből, hogy egyik sarkához illeszti a szaggató forma sarkát, hogy az oldalak is egybeessenek, majd ugyanebben az irányban helyezi el a lehető legszorosabban újra és újra a szaggatót a kivágott szívek mellé. Hány szívecskét tud sütni Ági, ha kezdetben egy 1 m\(\displaystyle {}^2\)-es tésztája van, és a formázás utáni maradékot mindig újra gyúrja?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1325. Jelölje \(\displaystyle a_n\) a \(\displaystyle \sqrt n\)-hez legközelebbi egész számot. Mekkora az

\(\displaystyle \frac 1{a_1}+ \frac 1{a_2}+ \frac 1{a_3}+\ldots + \frac 1{a_{484}} \)

összeg?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1326. Egy derékszögű trapéz alakú telek kerülete 400 m. A trapéz egyik szára az alappal \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget zár be. Mekkora alap esetén lenne a telek területe a lehető legnagyobb?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1327. Hogyan tudjuk az ábrán látható tulajdonságokkal rendelkező nyolcszöget egy belső pontjából induló szakaszokkal négy részre darabolni úgy, hogy a kapott részekből két, egybevágó szabályos ötszöget rakhassunk össze?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1328. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\(\displaystyle 2^{\sin^2 x}= \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt2}. \)

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

K. 481. Mennyi a számok összege a \(\displaystyle 20\times 20\)-as szorzótáblában? (Az ábrán az \(\displaystyle 5\times 5\)-ös szorzótáblát látjuk.)

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 482. Egy bicikligyárban az elkészült bicikliket szisztematikusan tesztelik. Minden ötödiken a fékeket, minden negyediken a fogaskerekeket és minden hetediken a váltót. 435 biciklit gyártanak naponta. Hány olyan bicikli kerül ki a gyárból naponta, amelyen semmit sem tesztelnek?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 483. Hányféleképpen lehet felírni egy kör kerületére az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat úgy, hogy semelyik két szomszédos szám összege se legyen többszöröse a 3, 5 és 7 egyikének se?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 484. Írjuk 1-től \(\displaystyle n\)-ig a természetes számokat egy-egy kártyára. Melyik az a legkisebb \(\displaystyle n\), melyre akárhogy is osztjuk két csoportra a kártyákat, az egyikben lesz két kártya, amelyeken szereplő számok összege négyzetszám?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 485. Az óriás és Babszem Jankó elmennek a sárkány várához. Az óriás ugyan 3,5 m-rel magasabb Jankónál, de nem éri fel a földön állva a várfal tetejét. Ezért felemeli a tenyerén Babszem Jankót a feje fölé, akinek így éppen sikerül felkapaszkodnia a 6 méter 20 cm magas várfalra. Az Óriásnak hosszú keze van, a testmagasságának 40%-ával a feje fölé tudja nyújtani a kezét, míg Babszem Jankó csak a magasságának 20%-áig tud felnyúlni a feje fölé. Milyen magas az Óriás, illetve Babszem Jankó?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 486. Hány olyan ötjegyű pozitív egész szám van, melyben a számjegyek összege és szorzata is páros?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley